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2018年浙江专升本高数考试真题答案
一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
?sinx,x?0?1、设f(x)??x，则f(x)在(?1,1)内（ C ）
,x?0??xA、有可去间断点
x?0x?0B、连续点
x?0C、有跳跃间断点
x?0D、有第二间断点
解析：lim?f(x)?lim?x?0,lim?f(x)?lim?x?0x?0sinx?1 x?lim?f(x)?lim?f(x)，但是又存在，?x?0是跳跃间断点
2、当x?0时，sinx?xcosx是x的（ D ）无穷小 A、低阶 解析：lim
B、等阶
C、同阶
D、高阶
2sinx?xcosxcosx?cosx?xsinxsinx?lim?lim?0?高阶无穷小 2x?0x?0x?0x2x2x?x03、设f(x)二阶可导，在x?x0处f??(x0)?0，limf(x)?0，则f(x)在x?x0处（ B ） x?x0D、x0,f(x0)是拐点
A、取得极小值 解析：?limB、取得极大值 C、不是极值
??x?x0f(x)?f(x0)f(x)?0,?f?(x0)?lim，则其f?(x0)?0,f(x0)?0，
x?x0x?x0x?x0x0为驻点，又?f??(x0)?0?x?x0是极大值点。
4、已知f(x)在?a,b?上连续，则下列说法不正确的是（ B ） A、已知
?baf2(x)dx?0，则在?a,b?上，f(x)?0
d2xB、f(t)dt?f(2x)?f(x)，其中x,2x??a,b?
dx?xC、f(a)?f(b)?0，则?a,b?内有?使得f(?)?0
D、y?f(x)在?a,b?上有最大值M和最小值m，则m(b?a)??a解析：A.由定积分几何意义可知，f(x)?0，的面积，该面积为
0?2bf(x)dx?M(b?a)
?baf2(x)dx为f2(x)在?a,b?上与x轴围成
f2(x)?0，事实上若
f(x)满足
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?连续?非负?f(x)?0(a?x?b) ??bf(x)dx?0??ad2xB. f(x)dx?2f(2x)?f(x) ?xdxC. 有零点定理知结论正确
D. 由积分估值定理可知，x??a,b?，m?f(x)?M， 则
?bamdx??f(x)dx??Mdx?m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)
aaabbb5、下列级数绝对收敛的是（ C ）
???cosn(?1)n?1(?1)n?11A、? B、? C、? D、?
n?1n?1n?1n?1ln(n?1)n?1nn3?9?解析：A.limn??1?11n?1?1，由
?发散发散 ?1nn?1n?1n1??11ln(1?n)1nB. lim发散 ?lim?lim?0，由?发散??n??n??n??1nln(1?n)n1?nn?1n?1ln(1?n)1C.
cosnn?92?1n?92，而limn???1cosn1n2?9=1，
由?3收敛?收敛?221n?12n?9n?9n3n2收敛 D.
1发散 ?nn?11x?二、填空题
6、lim(1?asinx)?e
x?01x1ln(1?asinx)xln(1?asinx)limx?0x1?acosx1?asinxlimx?01a解析：lim(1?asinx)?limex?0x?0?e?e?ea
7、limx?03f(3)?f(3?2x)?3，则f?(3)?
2sinxx?0解析：limf(3)?f(3?2x)f(3?2x)?f(3)?2lim?2f?(3)?3
x?0sinx?2x 专业知识分享
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sinx(cosx?b)?5，则b??9
x?0e2x?asinxx(cosx?b)解析：lim2x(cosx?b)?lim?5 2xx?0ex?0?ae?a8、若常数a,b使得lim所以根据洛必达法则可知：1?a?0,a?1
x(cosx?b)cosx?b1?b ?lim?x?0x?02x221?b?5,b??9 2lim9、设??x?ln(1?t)dy，则
dx?y?t?arctantdy?dtdxdxdtdy1?t?1?1
解析：
121?t2?t(1?t)，dy1dx1?t21?t2t?1?1
d2yy2?x210、y?f(x)是x?y?1?0所确定的隐函数，则2?
dxy32解析：方程两边同时求导，得：2x?2yy??0，y??x， yx带入， y方程2x?2yy??0同时求导，得：1?(y?)?yy???0，将y??2d2y1x2y2?x2x2则得，1?()?yy???0，2?y????3?
dxyyy3y11、求y?x的单增区间是(?1,1) 21?x1?x2?2x21?x2?解析：y??
(1?x2)2(1?x2)2令y??0，则x?1，?1?x?1
212、求已知
?1kf(x)dx?e?C，则lim??f()? e?1
n??nk?0nx2n?1111kx21解析：lim??f()??f(x)dx??f(x)dx?(e?C)0?e?1
00n??nk?0nn?113、
???e1dx?1
x(lnx)2 专业知识分享
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解析：
???e??111dx?dlnx???e(lnx)2x(lnx)2lnx??e?1
14、由y?x：y?1,x?2围成的图形面积为
24 3解析：A??21142(x2?1)dx?(x3?x)1?
3315、常系数齐次线性微分方程y???2y??y?0的通解为y?(C1?C2x)ex（C1C2为任意常数）
解析：特征方程：r?2r?1?0，特征根：r1?r2?1 通解为y?(C1?C2x)e（C1C2为任意常数）
三、计算题 （本大题共8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共
60分）
x2ex?e?x16、求lim
x?0ln(1?sinx)ex?e?xe2x?12x2x?x?lime?lim?lim?2 解析：limx?0ln(1?sinx)x?0ln(1?sinx)x?0sinxx?0x17、设y(x)?(1?sinx)，求y(x)在x??处的微分
xy(x)?(1?sinx)解析： xlny?xln(1?sinx) 1cosxy??ln(1?sinx)?xy1?sinx dy?[ln(1?sinx)?xcosx](1?sinx)xdx 1?sinx将x??代入上式，得微分dy???dx 18、求解析：
??5?05?1?cos2xdx
1?cos2xdx??|sinx|dx02?3?5π0??sinxdx??（?sinx)dx??sinxdx??（?sinx)dx??sinxdx0π
4?5??2?3?4?
2?3?4?5???cosx|?0?cosx|??cosx|2??cosx|3??cosx|4??10
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19、求arctanxdx
2令x?t，则x?t解析：，dx?2tdt?
222arctantdt?tarctant?t??darctant?t2arctant??t221dt1?t2
1?t2?1?tarctant??dt1?t2
?t2arctant??（1?1）dt21?t
?t2arctant?t?arctant?c则原式?xarctanx?x?arctanx?c
20、（-1?1xxcosx?）dx 45?4x1?x解析：?xcosx1?x4为奇函数，
?该式不代入计算 5?t2令t?5?4x，则x?4
1dx??tdt
25?t211该式??(?t)dt
34t2113??（5?t2)dt 811113?（5t?t3)|1?
36 821、已知f(x)??解析：
?2x?b,x?0在x?0处可导，求a,b
?ln(1?ax),x?0
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