课时跟踪检测（二十） 平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的坐标运算
层级一 学业水平达标
1．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则AB可以表示为( )
A．2i＋3j C．2i－j
B．4i＋2j D．－2i＋j
解析：选C 记O为坐标原点，则OA＝2i＋3j，OB＝4i＋2j，所以AB＝OB－OA＝2i－j.
1?11
，4，B?，2?，又λ＝，则λa等于( ) 2．已知AB＝a，且A??2??4?21
－，－1? A．??8?1?C．??8，1?
1
，3? B．?4??1
－，－3? D．??4?
1??1??1?解析：选A ∵a＝AB＝??4，2?－?2，4?＝?－4，－2?， 11
－，－1?. ∴λa＝a＝??8?2
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝( ) A．(1，－2) C．(5,6)
B．(1,2) D．(2,0)
解析：选A b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
AC＝(1,3)，4．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，则DA＝( ) AB＝(2,4)，
A．(2,4) C．(1,1)
B．(3,5) D．(－1，－1)
解析：选C DA＝－AD＝－BC＝－(AC－AB)＝(1,1)．
5．已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且PN＝－2PM，则P点的坐标为( )
A．(－14,16) C．(6,1)
B．(22，－11) D．(2,4)
解析：选D 设P(x，y)，则PN＝(10－x，－2－y)，PM＝(－2－x,7－y)， 由PN＝－2PM
?10－x＝4＋2x，?x＝2，??
?得所以? ???－2－y＝－14＋2y，?y＝4.
6．(江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
???2m＋n＝9，?m＝2，?∴∴?∴m－n＝2－5＝－3. ?m－2n＝－8，???n＝5，
答案：－3
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则AB＋2BC＝________. 解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)， ∴AB＝(2,3)，BC＝(－3,3)．
∴AB＋2BC＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)． 答案：(－4,9)
8．已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|＝6，∠xOA＝150°，向量OA的坐标为________．
解析：设点A(x，y)，则x＝|OA|cos 150°＝6cos 150°＝－33， y＝|OA|sin 150°＝6sin 150°＝3，
即A(－33，3)，所以OA＝(－33，3)． 答案：(－33，3)
9．已知a＝AB，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．
解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，
∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)， 即a＝(－7,10)＝AB.
又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)， 则AB＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，
???1－x＝－7，?x＝8，?∴?? ?0－y＝10???y＝－10，
即A点坐标为(8，－10)．
10．已知向量AB＝(4,3)，AD＝(－3，－1)，点A(－1，－2)． (1)求线段BD的中点M的坐标．
(2)若点P(2，y)满足PB＝λBD (λ∈R)，求λ与y的值．
解：(1)设B(x1，y1)，
因为AB＝(4,3)，A(－1，－2)， 所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以???x1＋1＝4，??x1＝3，??y 所以??y 1＋2＝3，?1＝1，
所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)， 设BD的中点M(x2，y2)， 则x3－412＝
2＝－1
2，y＝－322
＝－1， 所以M??－1
2，－1??
. (2)由PB＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
BD＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又PB＝λBD (λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
?λ＝－1
所以???
1＝－7λ，
?所以?1－y＝－4λ，
?7，?y＝3
7.
层级二 应试能力达标
1．已知向量AB＝(2,4)，AC＝(0,2)，则1
2BC＝( )
A．(－2，－2) B．(2,2) C．(1,1) D．(－1，－1)
解析：选D
12BC＝12(AC－AB)＝12
(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D. 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( A．－2,1 B．1，－2 C．2，－1
D．－1,2
解析：选D ∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴???λ1＋2λ2＝3，
?解得λ?
2λ1＝－1，λ2＝2. 1＋3λ2＝4，
) 3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为( )
72，? A．??2?C．(3,2)
1
2，－? B．?2??D．(1,3)
??2m＝4，
解析：选A 设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故?
?2n－4＝3，?
m＝2，??7
2，?，故选A. 解得?即点D?7?2?n＝，??2
4．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算＋ad)，运算
A．(4,0) C．(0,2)
为mn＝(a＋c，b＋d)．设f＝(p，q)，若
B．(2,0) D．(0，－4)
为mn＝(ac－bd，bc
f等于( )
f＝(5,0)，则
???p－2q＝5，?p＝1，
解析：选B 由(1,2)?f＝(5,0)，得?解得?所以f＝(1，－2)，所
??2p＋q＝0，q＝－2，??
以f＝，－2)＝(2,0)．
5．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2； ③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O； ④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)． 其中，正确结论有________个．
解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．
答案：1
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝22，且∠AOCπ
＝.设OC＝λOA＋OB (λ∈R)，则λ＝ ________. 4
解析：过C作CE⊥x轴于点E，
π
由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2，所以OC＝OE＋OB＝λOA＋
4
OB，即OE＝λOA，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝3. 2答案：
3
7．在△ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，
2
且MN与AD交于点F，求DF的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， ∴AB＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，
AC＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．
∵D是BC的中点，
11
∴AD＝(AB＋AC)＝(－4－3，－3－5)
2271
－，－4?. ＝(－7，－8)＝??2?2
∵M，N分别为AB，AC的中点，∴F为AD的中点． 7117
－，－4?＝?，2?. ∴DF＝－FD＝－AD＝－???4?22?2
8．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)， (1)若PA＋PB＋PC＝0，求OP的坐标．
(2)若OP＝mAB＋nAC (m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求m－n. 解：(1)设点P的坐标为(x，y)， 因为PA＋PB＋PC＝0，
又PA＋PB＋PC＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)．
???6－3x＝0，?x＝2，?所以解得? ?6－3y＝0，???y＝2.
所以点P的坐标为(2,2)， 故OP＝(2,2)．
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)， 所以AB＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，
AC＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，
因为OP＝mAB＋nAC，
??x0＝m＋2n，所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，所以?
?y0＝2m＋n，?
两式相减得m－n＝y0－x0，
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上， 所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.
人教版高中数学必修四 课时跟踪检测（二十） 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算
