3.1.13.1.2 导数的概念
[作业] [A组 基础巩固]
1
1．一物体的运动方程是s＝t＋，则在t＝2时刻的瞬时速度是( )
t 53
A. B. C．1 D．2 2411解析：Δs＝2＋Δt＋－2－
2＋Δt2＝Δt－
2Δs＝1－Δt2
Δt
2＋Δt1
2＋Δtt＝2时的瞬时速度为
limΔs lim?
＝ ?1－
2Δt→0ΔtΔt→0?答案：B
limf2．若函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，则
x→011
A．2 B．1 C. D.
24limf解析：
x→0答案：B
3．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x＋6x＋1上一点，且f ′(x0)＝0，则点P的坐标为( ) A．(1,10) C．(1，－2) Δyf解析：＝
Δx3x0＋Δx2
2
1?＝3. 2＋Δt??4
1＋x－f1
x＝( )
1＋x－f1
x＝f ′(1)＝1.
B．(－1，－2) D．(－1,10)
x0＋Δx－fx0
＝
Δx＋6
x0＋Δx＋1－3x2 limΔy0－6x0－1
＝3Δx＋6x0＋6，∴f ′(x0)＝
Δx→0ΔxΔx lim2
＝ (3Δx＋6x0＋6)＝6x0＋6＝0，∴x0＝－1.把x0＝－1代入y＝3x＋6x＋1，得y＝Δx→0
－2.∴P点坐标为(－1，－2)． 答案：B
12 lim2
4．物体自由落体的运动方程为：s(t)＝gt，g＝9.8 m/s，若v＝
Δt→02
s1＋Δt－s1
＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是( )
ΔtA．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速度．
B．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速度．
C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率．
D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率．
12
解析：由于s(t)＝gt，所以由导数的定义可得
2 lims即s′(1)＝
Δt→0
1＋Δt－s1
＝9.8 (m/s)．
Δt所以9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率． 答案：C
limf5．设f(x)在x＝x0处可导，则
Δx→0A．－f′(x0) C．f′(x0) limf解析：
Δx→0
x0－Δx－fx0
等于( )
ΔxB．f′(－x0) D．2f′(x0)
x0－Δx－fx0
Δxx0
＝－f′(x0)．
limfx0－Δx－f＝－
Δx→0－Δx答案：A
6．已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr，其中r∈(0，＋∞)，则当半径
2
r∈[1,1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为________．
ΔSπ1＋Δr解析：当r∈[1,1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为＝
ΔrΔrπ＋2π·Δr＋ΔrΔr答案：2π＋πΔr
7.国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示．治污效果更好的企业是(其中
2
2
－π
＝
π－π
＝2π＋πΔr.
W表示排污量)________．
ΔWW解析：＝
Δtt1－Wt2
，在相同的时间内，由图可知甲企
Δt业的排污量减少的多，∴甲企业的治污效果更好． 答案：甲企业
8．已知函数f(x)＝ax＋b在区间[1,8]上的平均变化率为3，则实数a＝________. 解析：由函数平均变化率的几何定义知3＝8a＋b－a＋b＝a.
8－1答案：3
1
9．利用导数的定义，求函数y＝2＋2在点x＝1处的导数．
f1－f8
1－8
＝
f8－f1
8－1
＝
x解析：∵Δy＝?
1?
?x＋Δx2
2
?1?＋2??－?2＋2? ??x?
－2xΔx－Δx＝
x＋Δx2·x2
Δy－2x－Δx limΔy∴＝ 22，∴y′＝
Δx→0ΔxΔxx＋Δx·x lim－2x－Δx2
＝ 22＝－3，∴y′|x＝1 ＝－2. Δx→0x＋Δx·xx10．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x台机器的成本是c(x)＝x－6x＋15x(元)，而售出x台的收入是r(x)＝x－3x＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？
解析：由题意，生产并售出x台机器所获得的利润是：L (x)＝r(x)－c(x)＝(x－3x＋12x)－(x－6x＋15x)＝3x－3x，故所求的平均利润为：L＝
[B组 能力提升]
1．函数y＝x在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为
2
3
2
2
3
2
3
2
3
2
L20－L10
20－10870
＝＝87(元)． 10
k2，则k1与k2的大小关系为( )
A．k1>k2 B．k1 fx0＋Δx－fx0 解析：k1＝ Δxfx0－fx0－Δxx2x0－Δx0－ ＝ ΔxΔxk1与k2的大小不确定． 答案：D 2 ＝ x0＋ΔxΔx2 －x0 2 ＝2x0＋Δx，k2＝ ＝2x0－Δx.因为Δx可大于零也可小于零，所以 2．质点运动规律s＝t＋3，则在时间 [3,3＋Δt]中，相应的平均速度等于( ) A．6＋Δt C．3＋Δt 9 B．6＋Δt＋ ΔtD．9＋Δt 2 Δs解析：v＝ Δt[＝ 3＋Δt2 ＋3]－3＋3Δt2 2 6Δt＋Δt＝ Δt答案：A ＝6＋Δt，故选A. 3．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在关系h(t)＝－4.9t＋6.5t＋10，则起跳后1 s的瞬时速度是________． limΔh解析：h′(1)＝ Δt→0Δ t lim[－4.91＋Δ t＝ Δt→0 2 2 ＋6.51＋Δt＋10]－－4.9×1＋6.5×1＋10 Δt2 2 lim－3.3Δt－4.9Δt＝ Δ t→0Δt lim＝ (－3.3－4.9Δt)＝－3.3. Δ t→0答案：－3.3 m/s 4．已知一物体的运动方程是s＝6t－5t＋7，则其在t＝________时刻的速度为7. 解析：令6t＋Δt2 2 s＝f(t)，由题意知 limfΔ t→0t＋Δt－ftΔt＝ limΔ t→0 －5 t＋Δt＋7－6t2－5t＋7 Δt lim＝ (12t＋6Δt－5)＝12t－5＝7，∴t＝1. Δ t→0答案：1 5．路灯距地面8 m，一个身高1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C沿某直线离开路灯， (1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式， (2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率． 解析：(1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m. 由于CD∥BE，则＝即 ABBE， ACCD1.61＝，所以y＝x. y＋x84 y117 (2)因为84 m/min＝1.4 m/s，而x＝1.4t.所以y＝x＝×1.4t＝t，t∈[0，＋∞)． 4420 777 Δy＝(10＋Δt)－×10＝Δt， 202420 limΔy7所以 ＝. Δ x→0Δt20 7 即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为. 20 6．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×10 m/s，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 121121Δs22 解析：设运动方程为s＝at.∵Δs＝a(t0＋Δt)－at0＝at0Δt＋a(Δt)，∴＝at0 2222Δt1 limΔs5－3 ＋aΔt，∴瞬时速度v＝ ＝at0.由题意知a＝5×10，t0＝1.6×10，故v＝at0 Δt→0Δt2＝8×10＝800(m/s)． 即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 2 －3 5 2
高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1_3.1.2导数的概念优化练习新人教A版选修
