22.54 中子与物质的相互作用及应用（2004年春季）
第十一讲（2004年3月11日）
中子扩散
_______________________________________________________________________________ 参考文献：
J. R. Lamarsh, Introduction to Nuclear Reactor Theory(Addison-Wesley, Reading, 1966)
为了研究中子的扩散，我们回到中子的输运方程并得到一个只与空间变量有关的方程。首先通过对?积分而消掉?，从而得到一个具有两个未知量的方程，
φ(r,E,t)=∫d?φ(r,E,?,t) (11.1)
J(r,E,t)=∫d??φ(r,E,?,t) (11.2)
再利用斐克定律来消除J，从而得到
1?φ(r,E,t)
=[D(E)?2?Σt(E)]φ(r,E,t)+S(r,E,t)+ ?tv
vf(E)∫dE'Σf(E')φ(r,E',t)+∫dE'Σs(E')φ(r,E',t)F(E'→E) (11.3)
为了进一步简化，这里仅考虑稳态解，并对所有能量积分从而得到，
[D?2+(vΣf?Σa)]φ(r)=?S(r) (11.4)
其中，
φ(r)=∫dEφ(r,E) (11.5)
dED(E)φ(r,E)∫ (11.6) D≡
∫dEφ(r,E)
与(11.6)类似的一个表达式是宏观截面Σ的定义，其上划线代表以通量作为权重的能量平均值（（9.17）也是这样）。在(11.4)的表达式中，我们应用了中子守恒条件，
'
dEF(E→E)=1 (11.7) ∫
需要注意，在式(11.4)中，我们假设外部源是时不变的，更重要的是D与位置无关，而上述
情况只有当φ(r,E)的r和E是可分离变量时才成立(这通常是不成立的)。
方程(11.4)是二阶常系数微分方程。由于它与常数势下的薛定谔方程具有相同的形式，那么将中子的扩散问题与限制在势阱中的粒子问题进行类比是有意义的，特别是在对边界条件的处理上。为表达方便起见，下面将去掉常数的上划线，但应该记住，它们的值仍然代表能量的平均。 边界条件
由于我对φ(r)施加的边界条件与在解薛定谔方程时对波函数施加的边界条件非常相似。们面对的是一个物理量——中子的空间分布φ(r)，它在任何位置都是非负的、有限的。同时，分布必须能够反应问题的对称性，比如在平板体系中，如果x=0是平板的中心，那么边界条件就应该包含φ(x)=φ(?x)。还有，在材料交界处的一些常规条件；由于在界面处既不存在中子源也不存在中子吸收，则中子流量和中子通量应该是连续的。以上的边界条件
在波动方程的求解中都有对应部分。
一种需要特别讨论的边界条件是在由真空和一般介质所形成的界面，在这种情况下不存在再次进入的中子流。设边界为x=x0的一个无限平面，则其物理边界条件表示为
J?(x0)=0。尽管第九讲的方程(9.10)对于J－的定义是准确的，我们也可以通过其物理意
义，并假设在实验室系中的散射是各向同性的、介质无吸收、通量变化缓慢等条件下，来对它进行估计。J－可以近似地表达为下述积分（见图1）
?）的中子流的几何示意图。中子在r处的d3r图1 估计通过原点处单位面积A（法线方向为n
内发生各向同性散射的(引自lamarsh，126页)
??J?= z?AcosθΣφ(r)S?2∫4πr?uhs
??Σtr3
?edr (11.8) ?
其积分范围包括介质的上半部分，因为我们关心所有从上半部分向下穿过面元A的中子
3
(其方向与法线方向相反)。而被积函数括号内的部分表示从在r处的单位体积dr内，沿途未经任何碰撞，以角度θ进入面元A的中子。中子在进入面元的过程中发生的碰撞包含在exp(-Σtr)中。为了计算积分，就需要知道φ(r)。由于已经假设中子通量的变化是缓慢的，
那么我们可以在原点（单位面积所在位置）对其展开，并只保留其展开式的第一项，
φ(r)?φ(0)+r??φ0 (11.9)
则
2πΣJ(0)=S4πz?π/2?=0∫d?θ=0∫cosθsinθdθ∫dre?Σtr[φo+x(?φ/?x)o+y(?φ/?y)o+z(?φ/?z)o]0∞ (11.10)式中，取A＝1。将直角坐标系中的x，y，z用球坐标的(r,θ,?)表示，x=rsinθcos?，
y=rsinθsin?和z=rcosθ。对?的积分使得包含x或y的项变为0。而z项可以通过积分
容易地得到(通过将原点的面元移动到图1所示的平板中的x＝x0处)，
J?(xo)=
或者
φ(xo)D?dφ?
+?? (11.11) 4π2?dx?x
o
1?dφ?=?φ(xo) (11.12) ??dx2D??xo
(10.12)并不是真正意义上的φ(xo)的边界条件，因为梯度dφ/dx是一个未知量。为了找到通量和梯度的另一个关系，我们将后者写为有限差分的形式，
φ(xo)?φ(x')?dφ?
x'>xo (11.13) ??=?'
x?xo?dx?xo
之所以使用负号是因为我们知道梯度一定是负值。现在我们选择x使其位置处的通量值为已知。如何做到这一点呢？假设x为通量由x=xo外推为0时的距离。定义这个距离为，那么我们可以从(11.13)得出， x'=x0+δ（见图2）
'
'
图2 外推边界条件示意图，其中δ为在实际边界的基础上经过线性外推后通量降为0时的
距离。虚线表示由输运理论得到的通量变化。(引自lamarsh，135页)
1?dφ?=?φ(xo) (11.14) ??
δdx??xo
将此式与式(11.9)联立，可以得到外推距离δ=2D。通常并不使用“无再次进入”这一物
理条件，而是使用如下更为简单的数学条件，
??o)=0 (11.15) φ(xo+2D)=φ(x
??o=xo+2D。式(11.15)称为外推边界条件；由于其简单性，已经得到了广泛的应其中，x
用。使用输运理论可以得到更加精细的外推边界值δ。我们已经知道，使用较为简单的扩散理论得到的δ=2D，或者2/3Σtr。使用输运理论在不考虑吸收的情况下得到的外推边界值为0.71Σtr。二者不大的差别并不能说明利用扩散理论可以对接近表面的通量做精确的描述。实际上，从图2可以看出，与输运理论相比，扩散理论对表面通量的估计是偏大的。 扩散核(格林函数)
我们可以对不同位置的源求解扩散方程以得到通量分布。这就等价于一个标准的问题—
—为一个点源寻找格林函数，然后通过积分得到其它简单源分布的解。由于这部分计算在标准的参考书中有详尽的阐述，这里只给出一些结果。
设想在一个无限介质中x=0处有一个平面源，各向同性地以son/cm/s的速率发射中子。
2
则扩散方程为，
?d22??κ?2?φpl(x)=0 x≠0 (11.16) ?dx?
其中，κ2
=Σa/D>0(κ是实数）。平面源方程的解为
φpl(x)=
so?κx
e (11.17) 2Dκ其中使用了源条件
[AJ(x)]x→x
o
=D[dφ(x)/dx]x→xo=so/2 (11.18)
A为单位面元。式(11.18)的含义为，如果so表示平面源单位时间单位面积发射出的中子数，则将有一半中子进入+x的方向。
将平面源改为位置在原点的点源，so n/s，则方程变为
(?2?κ2)φpl(r)=0 r≠0 (11.19)
其解为
φpl(r)=
soe?κr (11.20) 4πrD
对比方程(11.17)和(11.20)可以看出两个核是相关的，由其中的一个可以得到另一个。这种联系实际上是很正常的，是由格林函数的性质直接决定的。由于扩散方程是线性的，那么可以通过叠加不同的点源得到任意源分布的解，
φ(r)=
1'3''
()() (11.21) drsrφr?rpt∫so
将上式应用于平面源的分布，可以得到，
∞
∞
2πφpl(x)=∫dzδ(z)∫ρdρ∫d?φpt(x2+ρ2) (11.22)
?∞
0
0
上式的积分是柱坐标的形式，x表示与平面源的垂直距离。进行积分可以得到，
∞
φpl(x)=2π∫dγγφpt(γ) (11.23)
x
上式与(11.17)与(11.20)是相容的。我们可以通过微分的方法对(11.23)求反,
φpt(r)=?
1?dφpl(x)?
? (11.24) ?
2π?dx?x=r
(11.23)的关系也有助于我们理解为什么点源核在原点处是奇异的，而平面源核在任意处都是非奇异的。 临界弯曲的概念
(由于临界的概念在12章有详细的讨论，建议学生在阅读此部分之前首先学习第12章的内容)
这里将讨论临界问题以及如何使用扩散理论求得在增值系数中出现的非逃逸系数。考虑
11 中子扩散
