四年级下册数学扩展专题练习：计数综合 加乘原理（B级）全国通用

加法原理

考试要求

1. 使学生掌握加法原理的基本内容；

2. 培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则． 3. 理解标数法

加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．

知识结构

一、 加法原理

在生活中做一件事情的时候常常会有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法。那么，

考虑完成这件事情所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决。

例如：春节期间康康要从北京去天津看奶奶。他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次

火车从北京到天津，有四趟长途汽车从北京到天津。那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？

分析这个问题发现，康康去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有两大类走法：第一类乘火车，有五

种走法；第二类乘汽车，有四种走法。上面的每一种走法都可以从北京到天津，故有5+4=9种不同的走法。

在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法，在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就

可以完成，并且两大类方法是互无影响的。那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数。

一般地，如果完成一件事有K类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同

的做法，……，第K类方法中有mK种不同的做法，则完成这件事共有：N= m1+ m2+……mK种不同的方法。这就是加法原理。

二、 加法原理的运用

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．

分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：

① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；

② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．

只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．

重难点

（1） 选取合适的分类标准； （2） 标数法。

例题精讲

【例 1】 节目期间，小明将6个彩灯排成一列，其中有2个红灯，4个绿灯，如果两个红灯不相邻，则不

同的排法有_________种（其中“红绿红绿绿绿”与“绿绿绿红绿红”类型算作一种）。

【巩固】 三张数字卡片0，2，4可以组成______个能被4整除的不同三位数。

【例 2】 老师带着佳佳、芳芳和明明做计算练习.老师先分别给他们一个数，然后让他们每人取3张写有

数的卡片.佳佳取的是3、6、7，芳芳取的是4、5、6，明明取的是4、5、8.这时老师让他们分别取自己卡片上的两个数相乘，再加上开始老师给他们的数.如果老师开始时给他们的数依次是234、235、236，而且他们计算都正确，那么可能算出_________个不同的数.

【巩固】 小明的两个口袋中各有6张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，……，6。从这两个口袋中各拿

出一张卡片来计算上面所写两数的乘积，那么，其中能被6整除的不同乘积有_____个。

【例 3】 1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于26的数共有多少个?

【巩固】 1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个?

【例 4】 四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张．问：

一共有多少种不同的方法？

【巩固】 思思想将3个相同的小球放入A、B、C三个盒中，那么一共有________种不同的放法．

【例 5】 袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有________

种可能．

【巩固】 1、2、3、4四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号(最少插一个乘号)，

可以得到多少个不同的乘积?

【例 6】 从101到900这800个自然数中，数字和被8整除的数共有______个。

【巩固】 在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？

【例 7】 如图，某城市的街道由5条东西向马路和7条南北向马路组成，现在要从西南角的A处沿最短

的路线走到东北角B出，由于修路，十字路口C不能通过，那么共有＿＿＿＿种不同走法．

BCA

【巩固】 如图所示，从A点到B点，如果要求经过C点或D点的最近路线有多少条？

BCDA

【例 8】 小王在一年中去少年宫学习56次，如图所示，小王家在P点，他去少年宫都是走最近的路，且

每次去时所走的路线正好互不相同，那么少年宫在________点处．

P人工湖B超市A

【巩固】 一只兔子沿着方格的边从A到B,规定上只能往上或往右走，但是必须经过一座独木桥MN,这只

兔子有（ ）种不同的走法

BMECD

NA

【例 9】 在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少条？

BCA

【巩固】 小群家到学校的道路如图4所示。从小君家到学校有_________种不同的走法。（只能沿图中向右

向下的方向走）

小君家学校

【例 10】 从北京出发有到达东京、莫斯科、巴黎和悉尼的航线，其他城市间的航线如图所示(虚线表示在

地球背面的航线)，则从北京出发沿航线到达其他所有城市各一次的所有不同路线有多少？