∴AC是⊙O的切线；
（2）连接OF． ∵sinA=，
∴∠A=30°
∵⊙O的半径为4， ∴AO=2OE=8， ∴AE=，∠AOE=60°， ∴AB=12， ∴BC=AB=6，AC=
，
∴CE=AC-AE=， ∵OB=OF，∠ABC=60°， ∴△OBF是正三角形． ∴∠FOB=60°，CF=6-4=2， ∴∠EOF=60°． ∴S梯形OECF=（2+4）×S扇形EOF=
，
．
=
，
∴S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF=【解析】
（1）连接OE．根据OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB=∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C=90°得到证得结论AC是⊙O的切线． ∠AEO=∠C=90°
（2）连接OF，利用S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF求解即可．
本题主要考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线． 23.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是圆美四边形，
∴∠C=2∠A，
∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∴∠A+2∠A=180°， ∴∠A=60°， ∴∠C=120°；
（2）由（1）知，∠A=60°，
如图1，连接DO并延长交⊙O于E，连接BE， ∴∠E=∠A=60°，
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∵⊙O的半径为2，
2=4， ∴DE=2×
在Rt△DBE中，BD=DE?sinE=4
×=6；
（3）如图2，在CA上截取CF=CB， 由（1）知，∠BCD=120°， ∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA=∠ACD=∠BCD=60°， ∴△BCF是等边三角形， ∴BC=BF，∠BFC=60°， ∴∠AFB=120°，∠AFB=∠BCD， 在△ABF和△BCD中，∴△ABF≌△DBC（AAS）， ∴AF=DC，
∴AC=CF+AF=BC+CD． 【解析】
，
（1）先判断出∠C=2∠A，再判断出∠A+∠C=180°，即可得出结论； （2）先求出∠E=60°，再求出DE，最后用锐角三角函数即可得出结论； （3）作出辅助线，判断出△BCF是等边三角形，得出∠AFB=∠BCD，进而判断出△ABF≌△DBC，得出AF=CD，即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 24.【答案】解：（1）抛物线y=x2-x-k=（x+2）（x-4），
令y=0，则x=-2或4，即点A、B的坐标分别为（-2，0）、（4，0）， 把点B坐标代入直线y=-x+b得：-∴直线BD的表达式为：y=-x+当x=-5时，y=3
，∴D（-5，3
， ），
，k=
，
×4+b=0，解得：b=
，
把点D的坐标代入抛物线表达式得：（-5+2）（-5-4）=3
2∴抛物线的表达式为：y=x-
x-； ），
（2）设点D的坐标为（x，-x+
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则：DM=-x+，BM=4-x，AM=-2-x，
∵∠MDA=∠ABD，∠AMD=∠DMB， ∴△AMD∽△DMB， ∴
=
，
2
）=（4-x）（-2-x），
即：（-x+
解得：x=-5或4（舍去x=4）， ∴点D的坐标为（-5，3）；
（3）由抛物线的表达式，令x=0，则y=-k， ∴点C的坐标为（0，-k），OC=k，
①当△ABC∽△APB时，则∠BAC=∠PAB，
设点P的坐标为（x，y），过点P作PN⊥x轴交于点N，则ON=x，PN=y，
tan∠BAC=tan∠PAB，即：把点P（x，
，∴y=kx+k，
）代入抛物线表达式并解得：x=8或-2（舍去-2），
故点P的坐标为（8，5k），
22
∵△ABC∽△APB，∴AB=AC?AP，即：6=
，
解得：k=，
=
；
S△ABC=AB?OC=②△ABC∽△PAB时， 同理可得：k=， S△ABC=AB?OC=故：△ABC的面积为=【解析】
=3或3
， ．
（1）求出A、B的坐标，把点B坐标代入直线表达式即可求解； （2）利用△AMD∽△DMB，
=
，即可求解；
（3）分△ABC∽△APB、△ABC∽△PAB两种情况，分别求解即可．
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本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形等，（2）（3）的关键是通过相似确定线段间的比例关系．
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2024-2024学年浙江省湖州市长兴县九年级(上)期末数学试卷
