OO1?O1Ksin?O1OK
1由外心性质，OO而
D,D1?AC。又OD?BC，故?OOK??ACB。
1分别是BC，CX。
的中点，所以
DD1?CD1?CD?111CX?BC?BX222因此
1BXO1KDD1BXOO1???2?RABsin?O1OKsin?ACBAB2R
2这里R是?ABC的外接圆半径。同理OO分
CY由已知条件可得BX，故OO?ABAC1?RCYAC。…………10
?OO2。…………20分
由于OO12
?AC，所以?AVU?90°??OOO。同理?AUV?90°
12??OO2O1。…………30分
1又因为OOAU?AV?OO2，故?OOO12??OO2O1，从而?AUV??AVU。这样
，即?AUV是等腰三角形。………………40分
三、（本题满分50分）给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得
2016年全国高中数学联合竞赛一试第21页，共24页
到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值。
解：以这10个点为顶点，所连线段为边。得到一个10阶简单图G。我们证明G的边数不超过15.
设G的顶点为v,v,…,v，共有k条边，用deg(v)表示顶点v的
1210ii度。若deg(v)?3对i?1,2,…，10都成立，则
i1101k??deg(vi)??10?3?152i?12i
i假设存在v满足deg(v)?4。不妨设deg(v)?n?4，且v与v,…,v均
112
n?1相邻。于是v,…,v之间没有边，否则就形成三角形，所
2
n?1以，v,v,…,v之间恰有n条边。…………10分
12n?1v至多与v,…,v中的一个顶点相邻对每个j(n?2?j?10)，（否
j2n?1则设v与v,v(2?s?t?n?1)相邻，则v,v,v,v就对应了一个空间
jst1sjt四边形的四个顶点，这与题设条件矛盾。）从而v,…,v与
2
n?1vn?2,…,v之间的边数至多10?(n?1)?9?n条。…………20分
10n?2在v,…,v这9?n个顶点之间，由于没有三角形，由托兰
10定理，至多
(9?n)2[]4条边，因此G的边数
…………30分
(9?n)2(9?n)225k?n?(9?n)?[]?9?[]?9?[]?15444
如图给出的图共有15条边，且满足要求。
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综上所述，所求边数的最大值为15.………50分
四、（本题满分50分）设p与p?2均是素数，p?3。数列{a}n的定义为a1?2，an?pa??an?1??n?1??n?，n?2,3,，…。这里?x?表示不小
于实数x的最小整数。 证明：对n?3,4,…,p?1均有n|pann?1?1成立。
?2?p证明：首先注意，{a}是整数数列。 对n用数学归纳法。当n?3时，由条件知apa2?1?(p?1)22，故
。因p与p?2均是素数，且p?3，故必须3|p?1。，即n?3时结论成立。
k?1?1因此3|pa2?1对3?n?p?1，设对k?3,…,n?1成立k|pa故pa?pa，此时??k?k?1?pak?1?1??k?，
pak?2?1?pak?2??1?p(a?)?1?p(a?)?1k?1k?2k?2?k?1?k?1??
(pak?2?1)(p?k?1)k?1…………10分
故对3?n?p?1，有
pan?1?1?p?n?1p?n?1p?n?2(pan?2?1)??(pan?3?1)n?1n?1n?22?n?1p?n?2p?3=…?pn??…?(pa?1n?23?1)…………20分
因此pan?1?1?2n(p?1)nCp?n(p?n)(p?2)np?n
n?1由此知（注意C是整数）n|(p?n)(p?2)(pa分
?1)①…………40
因n?p，p是素数，故(n,n?p)?(n,p)?1，又p?2是大于n的素数，
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故(n,p?2)?1，从而n与(p?n)(p?2)互素，故由①知n|pa数学归纳法知，本题得证。………50分 n?1?1，则
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2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答（A卷）
