f(11111)??f(?)?f()k?1kkkkak?11?akk……………………5分
n?1即，从而
ak?1n?111an?a1?????(n?1)!k?1akk?1k．……………………
10分 因此
?aaii?150101?i4911????i?1(i?1)!(100?i)!i?0i!?(99?i)!50
……………………20分
149i149i1129899?i99?(C99?C99)???2??C99?99!?99!i?099!299!i?0
11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F是x轴正半轴上的一个动点．以F为焦点，O为顶点作抛物线C．设P是第一象上的一点，Q是x轴负半轴上使得PQ为C的切线，且｜PQ｜
C1,C2限内C一点，=2.圆且均圆C与
1均与直线OP相切于点P，
与轴相切．求点F的坐标，使
C2的面积之和取到最小值．
2解：设抛物线C的方程是y(?a,0)(a?0)12?2px(p?0)111，点Q的坐标为
222，并设C,C的圆心分别为O(x,y),O(x,y)．
2设直线PQ的方程为x?my?a(m?0)，将其与C的方程联立，消去x可知y?2pmy?2pa?0．
因为PQ与C相切于点P，所以上述方程的判别式为
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??4p2m2?4?2pa?0，解得m?2ap．进而可知，点P的坐标为
(xP,yP)?(a,2pa)．于是
2a?2pa?2a(p?2a)p|PQ|?1?m2|yP?0|?1?．
由｜PQ｜=2可得
4a2?2pa?4
所以切于
①……………………5分 注意到OP与圆C,C相切于点P，
12OP?O1O2．设圆C,C与x轴分别相
1212点M，N，则OO,OO分别是?POM,?PON的平分线，故
?O1OO2=90°．从而由射影定理知
y1y2?a2?2pa?4?3a222y1y2?O1M?O2N?O1P?O2P?OP2?xP?yP?a2?2pa结合①，就有
②……………………10分 由O,P,O共线，可得
12y1?2pa2pa?y2?y1?yPO1PO1My???1yP?y2PO2O2Ny2．
化简得
y1?y2?22pa212?y2y1y2 ③……………………15分
12令T?y，则圆C,C的面积之和为?T．根据题意，仅需考
虑T取到最小值的情况． 根据②、③可知，
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T?(y1?y2)2?2y1y2?422y1y2?2y1y22pa
．
，所以t?0．于是
4(4?3a2)(2?a2)222?(4?3a)?2(4?3a)?4?4a21?a2作代换t?1?a，由于4t?4?4a22?2pa?0T?(3t?1)(t?1)11?3t??4?23t??4?23?4ttt33．
1?t?1?13上式等号成立当且仅当t?合①得，
p1?a2??2at1?13?3t3?3?13?3，此时a?，因此结
1,0)p从而F的坐标为(2,0)?(．………………………20
3?3分
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2016年全国高中数学联合竞赛
加试
一、（本题满分40分）设实数a,a,…,a满足9a122016i?11ai2?1(i?1,2,…
,2015)。求(a122?a2)(a2?a3)…(a20152?a2016)(a2016?a12)的最大值。 ，
112ai?1?ai2?1?09解：令P?(a122?a2)(a2?a3)…(a20152?a2016)(a2016?a12)由已知得，对i?1,2,…，2015，均有a若a120162016i?ai2?1?。
?a12?0，则P?0。……………10分
2016以下考虑aP?a12?0的情况。约定a
2017?a1。由平均不等式得
201612016120162?(ai?ai?1)?(?ai??ai2?1)?2016i?12016i?1i?12016i?12016120161?(?ai??ai2)?2016i?12016i?1?a(1?a)………………20分
ii1?20162016i?1?[ai?(1?ai)2111]??2016??2201644
所以P?41。………………30分
2016当a1?a2?…?a2016?12时，上述不等式等号成立，且有
20169ai?11ai2?1(i?1,2,…,2015)，此时P?41。
2016综上所述，所求最大值为41。………………40分
二、（本题满分40分）如图所示，在?ABC中，X，Y是直线BC上两点（X，B，C，Y顺次排列），使得BX?AC?CY?AB。
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设?ACX，?ABY的外心分别为O，O，直线OO与AB，AC分
1212别交于点U，V。
证明：?AUV是等腰三角形。
证法一：作?BAC的内角平分线交BC于点P，设三角形ACX和ABY的外接圆分别为?和?。由内角平分线的性质知，
12BPAB?CPACBXAB。由条件可得CY。从而 ?ACPXBX?BPABBP???PYCY?CPACCP
即CP?PX?BP?PY。…………20分
故P对圆?和?的幂相等，所以P在?和?的根轴
1212上。…………30分
于是AP?OO，这表明点U，V关于直线AP对称，从而三
12角形AUV是等腰三角形。…………40分
证法二：设?ABC的外心为O，连接OO，OO。过点O,O,O，
1212分别作直线BC的垂线，垂足分别为D,D,D，作于点K。
12我们证明。在直角三角形OKO中，
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2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答（A卷）
