邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。3.1 二维形式的柯西不等式
自我小测
1．函数y＝22－x＋2x－3的最大值是( ) 3
A．3 B． C．3 D．4
2
?1??1?2．已知x，y＞0，且xy＝1，则?1＋??1＋?的最小值为( )
?
x??
y?
1
A．4 B．2 C．1 D.
4
3．已知2x＋y＝1，则2x＋y的最大值是( ) A．2 B．2 C．3 D．3 4．若x＋y＝8，则2x＋y的最大值为( ) A．8 B．4 C．210 D．5
2
22
2
?1?2?1?2
5．若a＋b＝1，则?a＋?＋?b＋?的最小值为( )
?
a?
?b?
257
A．1 B．2 C．D． 22
?24??21?6．设xy＞0，则?x＋2?·?y＋2?的最小值为________． yx?
??
2
?
7．设实数x，y满足3x＋2y≤6，则2x＋y的最大值为________． 8．函数y＝3x－5＋46－x的最大值为__________． 9．已知θ为锐角，a，b＞0，求证：(a＋b)≤＋2. 2
cosθsinθ10．在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形．
参考答案
1．解析：y＝?2×2－x＋2×≤[2＋(2)]?(2－x)＋?1
＝6×＝3，
2当且仅当2
2
22
2
2
a2b2
??
x－?
3?2?2??
3?22?
??
2
??
x－??
x－＝2·2－x，
32
5
即x＝时等号成立．∴y的最大值为3.
3答案：C
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。1??1??2?1?2??2?1?2??2．解析：?1＋??1＋?＝?1＋????1＋???
?x??y???x????y??
?1×1＋1×1?2?1＋1?22
≥??＝??＝2＝4，
xy??xy??
当且仅当x＝y＝1时等号成立． 答案：A
3．解析：2x＋y＝2×2x＋1×y ≤(2)＋1×(2x)＋y ＝3×2x＋y＝3， 当且仅当2y＝2x，即x＝y＝即2x＋y取到最大值3. 答案：C
4．解析：(x＋y)·(4＋1)≥(2x＋y)，
∴(2x＋y)≤8×5＝40，当且仅当x＝2y时，等号成立，即(2x＋y)max＝210. 答案：C
11?1?2?1?222
5．解析：?a＋?＋?b＋?＝a＋2＋2＋b＋2＋2，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
时等号成立， 3
?a??b?
ab∵a＋b＝1，
12222
∴a＋b＝(a＋b)·(1＋1)
2112
≥·(a＋b)＝， 22
1128又2＋2≥≥＝8， abab(a＋b)2
1
以上两个不等式都是当且仅当a＝b＝时，等号成立．
2
25125?1?2?1?21
∴?a＋?＋?b＋?≥＋2＋2＋8＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，取到最小值.
222?a??b?2答案：C
?2?2?2???1?22?6．解析：原式＝?x＋??????＋y?
yx?
??????
?
?12?2
≥?x·＋·y?＝9. ?
xy?
当且仅当xy＝2时等号成立， 即所求最小值为9.
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。答案：9
7．解析：由柯西不等式得 (2x＋y)≤[(3x)＋(2y)]·??
2
2
2
??2?2?1?2?
?＋??? ??3??2??
11?41?22
＝(3x＋2y)·?＋?≤6×＝11.
6?32?当且仅当3x＝4y，即x＝答案：11
8．解析：∵y＝(3x－5＋46－x) ≤(3＋4)[(x－5)＋(6－x)] ＝25(x－5＋6－x)＝25， 当且仅当36－x＝4x－5， 134
即x＝时等号成立．
25∴函数y的最大值为5. 答案：5 9．证明：设m＝?则|a＋b|＝?
2
2
2
2
2
2
4
3
，y＝时等号成立．因此2x＋y的最大值为11. 1111
?a，b?cos θsin θ
?，n＝(cos θ，sin θ)， ??
?a·cos θ＋b·sin θ?
?sin θ?cos θ?
?a?2＋?b?2·1
?cos θ??sin θ?????
，
2
＝|m·n|≤|m||n|＝＝
a2
cosθ
2＋b2
sinθ
22当且仅当a＝kcosθ，b＝ksinθ，k∈R时等号成立． ∴(a＋b)≤2＋. 2
cosθsinθ
10．答案：解：如图，设内接长方形ABCD的长为x，则宽为4R2?x2，于是长方形2
a2b2
ABCD的周长
l?2(x?4R2?x2)
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。?2(1?x?1?4R2?x2)．
由柯西不等式得
l?2[x?(4R?x)](1?1)
2212222122?22?2R?42R. x当且仅当?1即x?4R2?x2， 12R时等号成立．
2222此时，4R?x=4R?(2R)?2R.
即长方形ABCD为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为42R.
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式自我小测新人教A版选修4_5
