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【关键字】试题
量子力学自测题（１）
一、简答与证明：（共25分）
1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4分） 2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）
3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）
4、证明是厄密算符 （5分）
5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。（6分） 2、（15分）已知厄密算符，满足，且，求
1、在A表象中算符、的矩阵表示； 2、在B表象中算符的本征值和本征函数； 3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。 三、（15分）设氢原子在时处于状态 ，求
1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；
2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。
四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩
阵给出
这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。 五、（10分）令，，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？
量子力学自测题（１）参考答案
一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：
2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：。 4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。
5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。以、和依次表示、和在态中的平均值，令 ，，
则有 ，这个关系式称为测不准关系。 坐标和动量之间的测不准关系为：
2、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：
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设在A表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，， 令，其中为任意实常数，得在A表象中的矩阵表示式为： 2、类似地，可求出在B表象中算符的矩阵表示为：
在B表象中算符的本征方程为：，即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有：
所以，在B表象中算符的本征值是，本征函数为和 3、类似地，在A表象中算符的本征值是，本征函数为和
从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 三、解： 已知氢原子的本征解为： ，将向氢原子的本征态展开， 1、=，不为零的展开系数只有三个，即
，，，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为： ，，
（1）能量的取值几率，， 平均值为：
（2）取值几率只有：，平均值 （3）的取值几率为： ，，平均值 2、时体系的波函数为：=
由于、和皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。 四、解：（1）的本征值是方程的根 结果：，，这是的精确解。
(0)(1)(2)E?E?E?Ennnn（2）根据题意，体系能级的二级修正可写为：
??C??0，H22??0，H33由题设可知：能量的一级修正为：H11
对于二级修正，有：
(2)2E(2)1?H21??H31?H12H13C20C2?(0)?(0)????(0)(0)E1?E2E1?E31?31?(?2)2
?H12??H32?H21H23C20C2E?(0)?(0)???(0)(0)E2?E1E2?E33?13?(?2)222?H13??H23?H31H32(2)CCE3?(0)?(0)?0E1?1?E2?3?(0)E3?E1(0)E3?E222，E3??2?C 所以，，
122??2?1?C?2?(1?C??)2??2?1?C2将展开：
113?C21?C22(C??1)（3）对比可知，根据?????221 ，2，
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微扰公式求得的能量二级修正值，与精确求解的结果是吻合的。 五、解：
S??S??S??111?1i?1?Sx??iSy????i()??02222222， 111?1?i?11?Sx??iSy????i()????22222222 111?1i?11?Sx??iSy????i()????22222222
S??111?1?i?1?Sx??iSy????i()??02222222
所以S?和S?分别作用于Sz的本征态
S????1??0?11???????????2?0?和2?1?的结果是
111111?0S?????S?????S???0222，22，2，
结果表明：称S?为自旋升算符是合理的，因为它将z方向的自旋从
??2增加到?2。同样，称S?为自旋降算符，因为它将z方向的自旋
从?2降到??2。S?和S?容许我们从Sz的一个本征态跳跃到另一个本征态，它们在自旋的计算中是非常有用的。
量子力学自测题（２）
一、填空题（本题20分）
1．在量子力学中，体系的量子态用Hilbert空间中的 来描述，而力学量用 描述。力学量算符必为 算符，以保证其 为实数。当对体系进行某一力学量的测量时，测量结果一般来说是不确定的。测量结果的不确定性来源于 。
2．在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于 的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的 对易，而与体系的 无关。一个力学量是否具有确定值，只决定于体系的 ，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的 ，
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【试题】量子力学期末考试题库含答案22套
