考点45 三定问题（定点、定值、定直线）(练习)
【题组一 定点】
21．（2020·宁波市第四中学）已知抛物线y?2x，过定点Q?2,0?的动直线l1与该抛物线交于A，C.
（1）求A，C两点的纵坐标之积，并证明OA?OC；
（2）过Q作l1的垂线l2交该抛物线于B，D.设线段AC、BD的中点分别为M、N两点.试问：直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）?4，证明见解析；（2）直线MN过定点?3,0? 【解析】（1）设直线AC为x?my?2，A?x1,y1?，C?x2,y2?
?x?my?22联立直线与抛物线方程得?2，消元x得y?2my?4?0，所以y1?y2?2m，y1?y2??4
?y?2x所以OA??x1,y1?，OC??x2,y2?
所以OAOC?x1x2?y1y2??my1?2??my2?2??y1y2
?m2y1y2?2m?y1?y2??4?y1y2
??4m2?4m2?4?4?0
所以OA?OC，即OA?OC （2）由（1）可得yM?y1?y2?m，xM?myM?2?m2?2，所以Mm2?2,m 2??设B?x3,y3?，D?x4,y4?，因为l1与l2垂直，所以y3?y4?2??2?1???， ?mm??所以yN?11?1?1y3?y41??，xN??yN?2???????2?2?2
mm?m?m2m所以N?1??1?2,?? 2mm??
所以kMN?1?1m????m??m?m?1?m ??1m2?1?1?m2?12m?m?2??2?2?2mmm??m2233x?m?2my?y?m?m?mx?m?2m，即，整理得??2m?1所以直线MN的方程为y?m??3?x?0?x?3m2y?m?3?x??y?0，令? 解得?y?0y?0??即直线MN恒过定点?3,0?
2．（2019·宁夏贺兰县景博中学）已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝
1，不在x轴上的动点P与2点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N （Ⅰ）求E的方程；
（Ⅰ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.
y2=1(y≠0，过点F 【答案】x－32
【解析】1)设P(x,y)，则(x?2)?y?x?221 2y2=1(y≠0) 化简得x?32(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)
y2=1联立消去y得 与双曲线x?32(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0 由题意知3－k2≠0且△＞0 设B(x1,y1),C(x2,y2)，
4k2x1?x2?2k?3 则{24k?3x1x2?2k?3
y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]
4k2?38k2
-2＝k2(2＋4)
k?3k?3?9k2
＝2
k?3
因为x1、x2≠－1
所以直线AB的方程为y＝
y1(x＋1) x1?13y11(,)) 因此M点的坐标为(
22(x1?1)3y13y233FM?(?,),同理FN?(?,)因此
22(x1?1)22(x2?1)FM·FN?0
②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)
1333222233333FN?(?)2???0＝0 同理可得FN?(?,?)因此FM·22222AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为(,)，FM?(?,)
综上FM·FN＝0，即FM⊥FN 故以线段MN为直径的圆经过点F
x23．（2020·全国高三课时练习（理））已知A、B分别为椭圆E：2?y2?1（a>1）的左、右顶点，G为E
a的上顶点，AG?GB?8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点.
x2【答案】（1）（2）证明详见解析. ?y2?1；
9【解析】（1）依据题意作出如下图象：
x2由椭圆方程E:2?y2?1(a?1)可得：A??a,0?， B?a,0?，G?0,1?
a?AG??a,1?，GB??a,?1? ?AG?GB?a2?1?8，?a2?9
2x?椭圆方程为：?y2?1 9（2）证明：设P?6,y0?， 则直线AP的方程为：y?y0?0?x?3?，即：y?y0?x?3?
6???3?9?x2?y2?1??9联立直线AP的方程与椭圆方程可得：?，整理得：
?y?y0?x?3??9??3y02?27?y0?9?x?6y0x?9y0?81?0，解得：x??3或x?y2?9
022226y0?3y02?27y0y? y?x?3将x?代入直线可得：??22y?9y0?990??3y02?276y0?,2所以点C的坐标为??. 2y?9y?900???3y02?3?2y0?,2同理可得：点D的坐标为?? 2y?1y?10?0?2当y0?3时，
?直线CD的方程为：y??????2y0?6y0???y02?9?y02?1???2y0?3y02?3????x?2?， 222y0?1??3y0?273y0?3?y0?1??y02?9y02?18y0?y02?3???2y03y02?3?8y03y02?3??x?2整理可得：y?2?x?2??? 42?y0?1y?1y?16?9?y0??00?6?3?y0???整理得：y?4y02y04y03??x??x???
y02?33?3?y02??2?3?3?y02?所以直线CD过定点??3?,0?． 2??3?3??3?，直线过点?,0?．故直线CD过定点?,0?． 2?2??2?2当y0?3时，直线CD：x?【题组二 定值】
x2y21．（2019·福建高三其他（理））已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的下顶点为点D，右焦点为F2(1,0).
ab延长DF2交椭圆C于点E，且满足DF2?3F2E. （1）试求椭圆C的标准方程；
（2）A,B分别是椭圆长轴的左右两个端点，M,N是椭圆上与A,B均不重合的相异两点，设直线AM,AN的斜率分别是k1,k2.若直线MN过点???2?1,0?. k?k??，求证：12?6?2?x2【答案】（1）?y2?1；（2）证明见解析.
2（1）解：椭圆C的下顶点为D(0,?b)，右焦点F2(1,0)，设点E的坐标为(x,y)， ∵DF2?3F2E，可得DF2?3F2E，又DF2?(1,b)，F2E?(x?1,y)，
4?x???3?x?1??1?3∴?，解得?，
b3y?b??y??3?
考点45 三定问题(定点、定值、定直线)——2021年高考数学专题复习真题附解析
