2014年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）
参考答案及评分标准
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。 1. 若正数a,b满足2?log2a?3?log3b?log6(a?b)，则答案：108.
解：设2?log2a?3?log3b?log6(a?b)?k，则a?2k?211?的值为_________ abk?3，b?3，a?b?6，从
k11a?b6k?k?2k?3?22?33?108。 而??abab2?32. 设集合{?b|1?a?b?2}中的最大元素与最小元素分别为M，m，则M?m的值
为___________ 答案：5?23。 解：由1?a?b?2知，
3a33?b??2?5，当a?1，b?2时，得最大元素M?5，又a133?b??a?23，当a?b?3时，得最小元素m?23。因此，M?m?5?23。 aa3. 若函数f(x)?x2?a|x?1|在[0,??)上单调递增，则实数a的取值范围是________ 答案：[?2,0]
解：在[1,??)上，f(x)?x?ax?a单调递增，等价于?2a?1，即a??2。在[0,1]上，2f(x)?x2?ax?a单调递增，等价于
4. 数列{an}满足a1?2，an?1?答案：
a?0，即a?0，因此实数a的取值范围是[?2,0] 2a20142(n?2)an(n?N*)，则?_____
n?1a1?a2?...?a20132015。 20132(n?1)2(n?1)2nan?1??an?2???? nnn?12(n?1)2n2?3???????a1?2n?1(n?1)
nn?12解：由题设an?记数列{an}的前n项和为Sn，则
Sn?2?2?3?22?4?????2n?1(n?1)
所以2Sn?2?2?2?3?2?4?????2(n?1)
1
23n将上面两式相减，得Sn?2n(n?1)?(2?2?22?????2n?1)?2nn
a201422013?20152015故 ?2013?a1?a2?...?a20132?201320135. 正四棱锥P—ABCD中，侧面是边长为1的正三角形，M，
N分别是边AB，BC的中点，则异面直线MN与PC之间的距离是____________ 答案：
2 4解：设底面对角线AC，BD交于点O，过点C作直线MN的垂线，交MN于点H。 由于PO是底面的垂线，故PO⊥CH，又AC⊥CH，所以CH⊥平面POC，故CH⊥PC。 因此CH是直线MN与PC的公垂线段，又CH?22，故异面直线MN与PC之CN?24间的距离是
2。 46. 设椭圆?的两个焦点是F1,F2，过点F1的直线与?交于点P,Q。若|PF2|?|F1F2|，且
3|PF1|?4|QF1|。则椭圆?的短轴与长轴的比值为_______
答案：
26 7解：不妨设|PF1|?4，|QF1|?3。记椭圆?的长轴，短轴的长度分别为2a，2b，焦距为2c，则|PF2|?|F1F2|?2c，且由椭圆的定义知，
2a?|QF1|?|QF2|?|PF1|?|PF2|?2c?4
于是|QF2|?|PF1|?|PF2|?|QF1|?2c?1
设H为线段PF1H|?2,|QH|?5，且有F2H?PF1。由勾股定理知， 1的中点，则|F|QF2|2?|QH|2?|F2H|2?|F1F2|2?|F1H|2
2222即(2c?1)?5?(2c)?2，解得c?5，进而a?7,b?26，因此椭圆?的短轴与长
轴的比值为
b26? a7 2
7. 设等边三角形ABC的内切圆半径为2，圆心为I，
若点P满足PI=1，则△APB与△APC的面积之比的最大值为________ 答案：
3?5 2解：由PI=1知点P在以I为圆心的单位圆K上。
设?BAP??，在圆K上取一点P0，使得?取到最大值?0，此时P0应落在?IAC内，且
K的切点。由于0????0?是AP0与圆
?3，故
sin?0S?APBsin????????S?APC1AP?ACsin(??)sin(??)sin(??0)sin(??)23336?其中，???0???IAP0
6IP?11?，于是cot??15，所以 由?AP0I?知，sin??0?2AI2r41AP?ABsin?2sin(??)6 ① ???1sin(??)cos??6?2?sin(??)1cos??623sin?cot??315?33?52???②
23cot??315?3sin?2根据①、②可知，当P?P0时，
S?APB3?5的最大值为
2S?APC1的概率在每对点之间连一条边，任意两对28.设A，B，C，D是空间四个不共面的点，以
点之间是否连边是相互独立的，则A，B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为__________ 答案：
3 46解：每对点之间是否连边有2种可能，共有2?64种情况。考虑其中A，B可用折线连接的情况数。
（1） 有AB边：共种2?32情况。
（2） 无AB边，但有CD边：此时A，B可用折线连接当且仅当A与C，D中至少
一点相连，且B与C，D中至少一点相连，这样的情况数为(2?1)(2?1)?9。
（3） 无AB边，也无CD边：此时AC，CB相连有2种情况，AD，DB相连也有222522种情况，但其中AC，CB，AD，DB均相连的情况重复计了一次，故A，B可
3
用折线连接的情况数为2?2?1?7。
以上三类情况数的总和为32+9+7=48，故A，B可用折线连接的概率为
22483?。 644二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.（本题满分16分）平面直角坐标系xOy中，P是不在x轴上的一个动点，满足条件：过P可作抛物线y2?4x的两条切线，两切点连线lP与PO垂直。 设直线lP与直线PO，x轴的交点分别为Q，R。 （1） 证明R是一个定点； （2） 求
|PQ|的最小值。 |QR|解：（1）设P点的坐标为(a,b)(b?0)，易知a?0。记两切点A，B的坐标分别为(x1,y1)，
(x2,y2)，则PA，PB的方程分别为 yy1?2(x?x1) ① yy2?2(x?x2) ②
而点P的坐标(a,b)同时满足①，②。故A，B的坐标均满足方程
by?2(x?a) ③(x1,y1)，(x2,y2)
故③就是直线AB的方程。 直线PO与AB的斜率分别为4分
从而③即为y?b2b2与，由PO?AB知，???1，故a??2。 ………abab2(x?2)，故AB与x轴的交点R是定点（2，0）。 …………8分 b
（2）因为a??2，故直线PO的斜率k1??则?为锐角，且
bbPR??，，直线PR的斜率k2??。设?O24bb1?(?)(?)1?k1k2|PQ|18?b228b224??||?||???22
bb|QR|tan?k1?k22|b|2|b|??24当b??22时，
|PQ|的最小值为22。 ……………………16分 |QR| 4
10.（本题满分20分）数列{an}满足a1?使得sina1?sina2?…?sinam??，an?1?arctan(sec求正整数m，an)(n?N*)。61。 100解：由已知条件可知，对任意正整数n，an?1?(?由于secan?0，故an?1?(0,??,)，且tanan?1?secan ① 22?2)。由①得，tan2an?1?sec2an?1?tan2an，故 13n?2? 33tan2an?n?1?tan2a1?n?1?即tanan?因此，
3n?2。 …………………………10分 3tanamtana1tana2 ??…?seca1seca2secamtanamtana1tana2（利用①） ??…?tana2tana3tanam?1sina1?sina2?…?sinam???tana11 ?tanam?13m?111，得m?3333。 …………………20分 ?3m?1100由
11.（本题满分20分）确定所有的复数?，使得对任意复数z1,z2(|z1|,|z2|?1,z1?z2)，均有(z1??)??z1?(z2??)??z2 。 解：记f?(z)?(z??)2??z，则
22f?(z1)?f?(z2)?(z1??)2??z1?(z2??)2??z2 ?(z1?z2?2?)(z1?z2)??(z1?z2) ①
假如存在复数z1、z2(|z1|、|z2|?1，z1?z2)，使得f?(z1)?f?(z2)，则由式①知
|?(z1?z2)|?|?(z1?z2?2?)(z1?z2)|
注意到，|z1?z2|?|z1?z2|?|z1?z2|?0， 故|?|?|z1?z2?2?|?2|?|?|z1|?|z2|?2|?|?2
5
2014年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题及详细解析(Word版)
