八年级上册数学各章节知识点总结
（2）公因式是否提“干净”；
（3）多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为+1，不漏掉。 2. 运用公式法
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。 主要公式：
（1）平方差公式： a?b?(a?b)(a?b)
222（2）完全平方公式： a?2ab?b?(a?b) a?2ab?b?(a?b)
22222易错点点评：
因式分解要分解到底。如x?y?(x?y)(x?y)就没有分解到底。
运用公式法：
（1）平方差公式：
①应是二项式或视作二项式的多项式；
②二项式的每项（不含符号）都是一个单项式（或多项式）的平方； ③二项是异号。 （2）完全平方公式： ①应是三项式；
②其中两项同号,且各为一整式的平方；
③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍。 因式分解的思路与解题步骤：
（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式； （2）再看能否使用公式法；
（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的。 （4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解； （5）因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。
第五节：补充
1.分组分解法:
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
如：am?an?bm?bn?a(m?n)?b(m?n)?(a?b)(m?n)
概念内涵：
分组分解法的关键是如何分组，要尝试通过分组后是否有公因式可提，并且可继续分解，分组后是否可利用公式法继续分解因式。
注意：分组时要注意符号的变化。 2.十字相乘法:
对于二次三项式ax?bx?c，将a和c分别分解成两个因数的乘积，
a1c1c22442222a?a1?a2 , c?c1?c2，且满足b?a1c2?a2c1，往往写成
如： ax?bx?c?(a1x?c1)(a2x?c2)
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2a2 的形式，将二次三项式进行分解。
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二次三项式x?px?q的分解：
2p?a?b
11abq?ab
x2?px?q?(x?a)(x?b)
规律内涵：
把x?px?q分解因式时，如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同。
如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同，对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项系数p。 易错点点评：
（1）十字相乘法在对系数分解时易出错；
（2）分解的结果与原式不等，这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确。
2第十五章 分式
知识点一：分式的定义
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子知识点二：与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为0（B?0） ②分式无意义：分母为0（B?0） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（?A叫做分式，A为分子，B为分母。 B?A?0） B?0??A?0?A?0
或?）
?B?0?B?0?A?0?A?0
或?）
?B?0?B?0
④分式值为正或大于0：分子分母同号（?
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（?
⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）
⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 经典例题 1、代数式4?1是（ ） x A.单项式 B.多项式 C.分式 D.整式 2、在
21?52x?y，(x?y)，，，中，分式的个数为（ ） x3??3a?x4A.1 B.2 C.3 D.4
3、当a是任何有理数时，下列式子中一定有意义的是（ ）
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a?1a?1a?1a?1
B.2 C.2 D.2 aaa?1a?1
x?1x?1x?11
4、当x?1时，分式①，②，③2，④3中，有意义的是（ ）
x?12x?2x?1x?1
A.
A.①③④ B.③④ C.②④ D.④ 5、使分式
8x?4的值为0，则x等于（ ） 8x?33181A. B.? C. D. 8232x2?16、若分式2的值为0，则x的值是（ ）
x?x?2A.1或－1 B.1 C.－1 D.－2
x?1的值为正数. x?1x?1 8、当x 时，分式的值为负数.
x?1x?19、当x? 时，分式的值为1.
3x?27、当x 时，分式知识点三：分式的基本性质
1.分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：
AA?CAA?C，?，其中A、B、C是整式，C?0。 ?BB?CBB?C拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
A?A?AA ?????B?BB?B注意：在应用分式的基本性质时，要注意C?0这个限制条件和隐含条件B?0。 经典例题 1、把分式
a的分子、分母都扩大2倍，那么分式的值（ ） a?b A.不变 B.扩大2倍 C.缩小2倍 D.扩大4倍 2、下列各式正确的是（ ）
yy2a?xa?1nnann?a A. B.?2 C.?，（a?0） D.? ?xxb?xb?1mmamm?a3、下列各式的变式不正确的是（ ） A.
?yy?223x3x?8x8x?????? B. C. D.? 3y3y?4y4y3y?3y?6x6x知识点四：分式的约分
定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母8
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相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 知识点四：最简分式的定义
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 经典例题
2ab2x2?9?________；②2?________ 1、 约分：①
20a2bx?6x?9m2?3m2、化简的结果是（ ） 29?mA、
知识点五：分式的通分
第四节分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，
叫做分式的通分。
第五节分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；
Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 经典例题 1、分式
mmmm
B、? C、 D、 m?3m?33?mm?32ca5b，，的最简公分母是（ ） 3a2b?4b4c2ac2242242 A.12abc B.?12abc C.24abc D.12abc 2、通分：
xyz,,； 2226ab9abc?3abc知识点六:分式的四则运算与分式的乘方
① 分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：
aca?c?? bdb?d分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 式子表示为:
acada?d???? bdbcb?cnan?a?② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子???n
b?b?③ 分式的加减法则：
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同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
aba?b ??ccc异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为
acad?bc ??bdbd整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对
有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。 经典例题
1、下列运算正确的是（ ）
x6a?xax?y?x?y?0 C.??1 D.A.2?x B.?
xx?yx?yb?xb2a2b3b?ac)?______ ②(?)2?()3?()2?______ 2、计算：①(?3cacb
知识点七:整数指数幂
① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正整数幂的法则对负整数指数幂
一样适用。即 ★a?a?anmnm?n ★am??n?amn ★?ab??anbn ★am?an?am?n （a?0）
n1an?a??n★???n ★a?n （a?0）
ab?b? ★a?1 （a?0）（任何不等于零的数的零次幂都等于1） 其中m，n均为整数。
科学记数法
若一个数x是0 7个0 nn0-7若一个数x是x>10的数则可以表示为a?10（1?a?10，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如120 000 000=1.2?10 9个数字 10 8
新人教版八年级上册数学各章节知识点总结
