初中数学竞赛专题选讲
一元二次方程的根
一 、内容提要
1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c的值确定的.
－b?b2?4ac根公式是：x=. (b2－4ac≥0)
2a2. 根的判别式
① 实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充分必要条件是：
b2－4ac≥0.
② 有理系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根的判定是：
b2－4ac是完全平方式?方程有有理数根.
③整系数方程x2+px+q=0有两个整数根?p2－4q是整数的平方数. 3. 设x1, x2 是ax2+bx+c=0的两个实数根，那么
① ax12+bx1+c=0 (a≠0，b2－4ac≥0)， ax22+bx2+c=0 (a≠0， b2－4ac≥0)；
－b＋b2?4ac－b－b2?4ac② x1=， x2= (a≠0, b2－4ac≥0)；
2a2a③ 韦达定理：x1+x2= －4. 方程整数根的其他条件
整系数方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个整数根x1的必要条件是：x1是c的因数. 特殊的例子有：
C=0?x1=0 ， a+b+c=0?x1=1 ， a－b+c=0?x1=－1. 二、例题 例1.
已知：a, b, c是实数，且a=b+c+1.
求证：两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. 证明 （用反证法）
设 两个方程都没有两个不相等的实数根， 那么△1≤0和△2≤0.
bc (a≠0, b2－4ac≥0). , x1x2=
aa
?1－4b?0 ①?即?a2?4c?0 ② ?a?b?c?1 ③?15，b+1 ≥代入③，得 445a－c=b+1≥， 4c≤4a－5 ④
4由①得b ≥
②＋④：a2－4a+5≤0，
即（a－2）2+1≤0，这是不能成立的.
既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.
∴方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. 本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数. 例2.
已知首项系数不相等的两个方程：
（a－1）x2－(a2+2)x+(a2+2a)=0和 (b－1)x2－(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其中a,b为正整数) 有一个公共根. 求a, b的值. 解：用因式分解法求得： 方程①的两个根是 a和
a?2b?2； 方程②两根是b和. a?1b?1由已知a>1, b>1且a≠b. ∴公共根是a=
b?2a?2 或b=. b?1a?1 两个等式去分母后的结果是一样的.
即ab－a=b+2, ab－a－b+1=3, (a－1)(b－1)=3. ∵a,b都是正整数， ∴ ?1＝11＝3?a－?a－； 或?.
b?1?3b?1?1???a＝2?a?4； 或?.
?b?4?b?2解得?又解： 设公共根为x0那么
222??(a?1)x0?(a?2)x?(a?2a)?0 ① 先消去二次项： ?222?（?b?1)x0?(b?2)x?(b?2b)?0 ②①×（b－1）－②×（a－1） 得
［－（a2+2）(b－1)+(b2+2)(a－1)］x0+(a2+2a)(b－1)－(b2+2b)(a－1)=0.
整理得 （a－b）(ab－a－b－2)(x0－1)=0.
∵a≠b
∴x0＝1； 或 (ab－a－b－2)＝0. 当x0＝1时，由方程①得 a=1, ∴a－1=0，
∴方程①不是二次方程. ∴x0不是公共根.
当(ab－a－b－2)＝0时， 得(a－1)(b－1)=3 ……解法同上.
例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x2+mx+n=0的两根差与方程y2+ny+m=0的两根
差相等.
求：m+n 的值. 解：方程①两根差是
x1?x2＝（x1?x2)2＝(x1?x2)2?4x1x2＝m2?4n
同理方程②两根差是
y1?y2＝n2?4m
依题意，得m2?4n＝n2?4m. 两边平方得：m2－4n=n2－4m. ∴（m－n）(m+n+4)=0
∵m≠n，
∴ m+n+4＝0， m+n＝－4.
例4. 若a, b, c都是奇数，则二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有有理数根. 证明：设方程有一个有理数根
那么a(
m（m, n 是互质的整数）. nm2m)+b()+c=0, 即an2+bmn+cm2=0. nn把m, n按奇数、偶数分类讨论， ∵m, n互质，∴不可能同为偶数.
① 当m, n同为奇数时，则an2+bmn+cm2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；
② 当m为奇数, n为偶数时，an2+bmn+cm2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；
③ 当m为偶数, n为奇数时，an2+bmn+cm2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.
综上所述
不论m, n取什么整数，方程a(
m2m)+b()+c=0都不成立. nn 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.
∴当a, b, c都是奇数时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有有理数根.
例5. 求证：对于任意一个矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长比和
面积比都等于k (k≥1).
证明：设矩形A的长为a, 宽为b，矩形B的长为c, 宽为d. 根据题意，得
c?dcda?b?ab?k. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.
由韦达定理的逆定理，得
c, d 是方程z2－(a+b)kz+abk=0 的两个根. △ ＝［－（a+b）k］2－4abk
＝（a2+2ab+b2）k2－4abk =k［(a2+2ab+b2)k－4ab］ ∵k≥1，a2+b2≥2ab,
∴a2+2ab+b2≥4ab，(a2+2ab+b2)k≥4ab.
∴△≥0.
∴一定有c, d值满足题设的条件.
即总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k 例6. k取什么整数值时，下列方程有两个整数解？
①（k2－1）x2－6(3k－1)x+72=0 ； ②kx2+(k2－2)x－(k+2)=0. 解：①用因式分解法求得两个根是：x1=
12k?1， x62=k－1. 由x1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. 由x2是整数，得k－1=±1, ±2, ±3, ±6.
它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.
答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解. ②根据韦达定理
(k≥1). ?k2?22x?x????k?2??1kk ??xx??k?2??k?212?kk?∵x1, x2, k 都是整数，
∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合. 答：当k取2和－2时，方程②有两个整数解. 三、练习
1. 写出下列方程的整数解：
① 5x2－3x=0的一个整数根是＿x=0＿＿.
② 3x2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿x=1＿＿. ③ x2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿x=-1＿.
2. 方程（1－m）x2－x－1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m的最大值是＿5/4＿＿. 3. 已知方程x2－(2m－1)x－4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿1＿＿. 4. 若x ≠y ，且满足等式x2+2x－5=0 和y2+2y－5=0. 那么
11?＝＿＿1＿.（提示：x, y是方程z2+5z－5=0 的两个根.） xy5. 如果方程x2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q应满足的关系
是：＿＿＿＿＿9q=2p2＿＿＿＿＿＿.
6. 若方程ax2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿一正一负＿＿＿. 7. 如果方程mx2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m－5）x2－2mx+m=0实数根
的个数是（ A ）.
(A)2 （B）1 （ C）0 （D）不能确定
8. 当a, b为何值时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有实数根？a=1 b=-1/2 9. 两个方程x2+kx－1=0和x2－x－k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ C ）
(A)2 （B）－2 （C）1 （D）－1
10. 已知：方程x2+ax+b=0与x2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b应满足的关系是：
＿＿＿＿a 不等于 b＿＿＿＿＿＿＿.
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