实多项式函数的线性共轭
商泽海，王晓芸，李 林*
【摘 要】拓扑共轭是动力系统研究中非常重要的等价关系，揭示不同映射在共轭意义下相同的动力学性质.考虑实多项式函数的共轭关系，得到高次多项式函数之间线性共轭的充分与必要条件. 【期刊名称】《内江师范学院学报》 【年(卷),期】2019(034)008 【总页数】4
【关键词】多项式函数；共轭方程；共轭；线性共轭
基金项目:国家自然科学基金(11671061)；浙江省自然科学基金(LY18A010017)
0 引言
令f,g:R→R为给定的实值函数，若存在一个同胚h:R→R使得下列共轭方程成立
h°f(x)=g°h(x)，?x∈R，
则称f与g拓扑共轭，函数h称为f到g的共轭(或桥函数).进一步，若函数h为线性的，则称h为f到g的线性共轭.由于不同映射在拓扑共轭意义下能保持其动力学性质的不变性，可以通过简单的系统来研究复杂的情况，故拓扑共轭也成为动力系统中非常重要的研究课题[1-4].
目前对于紧区间上严格单调映射的共轭问题已有丰富的结论，比如递增[5]和递减[6]的结果.1987年，Blokh等[7]讨论了两类特殊的逐段单调映射，即线性马可夫映射与扩张马可夫映射的拓扑分类.而对于一般形式的逐段单调函数的拓扑共轭问题，可见文献[8-9].
本文将讨论高次实多项式函数的拓扑分类.多项式作为一类既非单调也非逐段单调的映射，在实分析中具有极其重要的地位.本文将通过比较两个多项式之间的系数关系，得到两者线性共轭的充分与必要条件.
1 n次多项式线性共轭条件
对于两个系数不完全相同的n次多项式a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an和b0xn+b1xn-1+b2xn-2+…+bn-1x+bn，其中，ai,bi ( i=0,1,2,…n)都为实数，本文通过建立一个线性桥函数来探讨这两个多项式之间存在共轭关系的条件.
定理1 f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an，g(x)=b0xn+b1xn-1+b2xn-2+…+bn-1x+bn通过桥函数φ(x)=ax+b共轭的充要条件是 (1)
证明 必要性.当f和g线性共轭，即φ-1°f°φ=g,可列出等式 (a0(ax+b)n+a1(ax+b)n-1+a2(ax+ b)n-2+…+an-1(ax+b)+an-b)/a =g(x), (2)
根据二次项定理化简展开式，再由系数一一对应的关系可得到(1)中的二次项系数关系.
充分性.将上述关系式(1)中所有等式的左边和右边各自相加可得 a1(ax+b)n-1+a2(ax+b)n-2+…+ an-1(ax+b)+an-b=a·g(x), 即得关系式(2)，从而能满足条件φ-1°f°φ=g.证毕. 例1 令
f1(x)=4x2+x+2，g1(x)=8x2+x+1， φ1(x)=2x，
经简单计算f1(x)，f2(x)和φ1(x)的系数满足定理1中的条件(1)，所以f1(x)，f2(x)通过桥函数φ1(x)共轭.
对于关系式(1)，可以进一步讨论函数f和g之间的系数关系式.通过化简，得到： (3)
由(3)中第一个等式和第二个等式，可得到系数a和b满足的条件： 当n为偶数时， (4)
当n为奇数时(4)成立，或者 (5)
根据上述讨论，得到下列推论.
推论1 若n次多项式f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an和g(x)=b0xn+b1xn-1+b2xn-2+…+bn-1x+bn关于线性桥函数φ(x)=ax+b共轭，并且满足 a0=b0，a1=b1，则有如下关系： 当n为偶数时，a=1并且ai=bi(i=2,3,…,n); 当n为奇数且a=1时，结果同上； 当n为奇数且a=-1时，有 (6)
证明 当n为偶数时，将a0=b0时带入(4)中第一个等式可得a=1,当a1=b1时带入(4)中第二个等式可得b=0; 把a=1，b=0带入(1)式即可得ai=bi(i=2,3,…,n).当n为奇数时，可得a=±1,当a=1时,结果同上,当a=-1时，
实多项式函数的线性共轭
