河南省郑州市2020届高三第二次质量预测数学（理）试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若为（ ） A．43 B．23 C．2
D．3 2a?ccosC?,b?4,则?ABC的面积的最大值bcosB2．函数f(x)?log3x?sin?x在区间[?2,3]上零点的个数为（ ） A．5
B．6
C．7
D．8
3．已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD//BC，
AB?DC?AD?2，BC?PA?4，PA?面ABCD，则球O的体积为（ ）
642?162?3 B．3 C．162? D．16? A．
?3x?y?6?0?4．设x,y满足约束条件?x?y?2?0，则目标函数z??2x?y?4的最小值为（ ）
?x?0,y?0?A．-4
B．-2
C．0
D．2
5．已知函数f?x??asinx?3cosx关于直线x??为( )
?6对称 , 且f?x1??f?x2???4,则x1?x2的最小值
5?2???A．6 B．3 C．6 D．3
6．在区间?0,1?上随机取两个数x,y,则事件“x2?y2?1”发生的概率为（ ）
???2A．4 B．2 4???C．6 D．4
7．若函数y?f(x)的定义域为?0,2?，则函数g(x)?A．
f(2x)的定义域是（ ） x?1?0,1?
B．[0,1) C．[0,1)U(1,4] D．(0,1)
x2y28．已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)，点P?x0,y0?是直线bx?ay?4a?0上任意一点，若圆
ab?x?x0???y?y0?A．
22． ?1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
C．
?1,2?
B．
?1,4? ?2,??? D．?4,???
9．已知在锐角?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC?ccosB，则
111??的最小值为（ ） tanAtanBtanC27A．3 7B．5 C．3 D．25 10．设双曲的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
3?15?1A．2 B．3 C．2 D．2
11．已知抛物线C：y2?6x，直线l过点P(2,2)，且与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点恰好为点P，则直线l的斜率为（ ）
1135A．3 B．4 C．2 D．4
12．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F(7,0)，直线y?x?1与其相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为?2，则此双曲线的方程是 3x2y2?1 B．?43x2y2?1 A．?34x2y2x2y2??1??125C．5 D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
?3?P,y0??2y?ax(a?0)2??到焦点F的距离为2，则a?_____________；?POF的面积13．抛物线上的点
为____________.
14．函数f?x??sin??x???的导函数y?f??x?的部分图像如图所示，其中，P为图像与y轴的交点，
A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点. 若???33?π0,时，点P的坐标为?，则??______. ???26??
15．甲、乙、丙三个同学同时做标号为A、B、C的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下面说法正确的是_____.三个题都有人做对；（2）至少有一个题三个人都做对；（3）至少
有两个题有两个人都做对。 16．已知
f(x)?log3x，若a，b满足f(a?1)?f(2b?1)，且a?2b，则a?b的最小值为_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
??x?3?3t?22y?1?t?C:(x?23)?(y?1)?16，以?tl17．（12分）已知直线的参数方程（为参数），曲线
坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系.求直线l和曲线C的极坐标方程；直线l与曲线C交于
11?A,B两点，求|OA||OB|值.
?x?3cosa???y?sina，
18．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?（a为参数）．以坐标原点为极
?a??R）点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??（，将C2逆时针旋转2以
后得到曲线C3.写出C1与C3的极坐标方程；设C2与C3分别交曲线C1于A、B和C、D四点，求四边形
ACBD面积的取值范围.
19．（12分）如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是菱形，PA?平面ABCD，且?BAD?点M是PC的中点.
2?，3求证：PA//平面MDB；设菱形ABCD的边长为a，若PB?PD，三棱
6锥P?ABD的体积为3，求a的值.
20．（12分）某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表： 大于40岁 20岁至40岁 合计 喜欢 20 10 30 不喜欢 5 20 25 合计 25 30 55 （1）判断是否有99.9%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中，有3位还比较喜欢“自然景观”景点，现在从20岁到40岁的10位市民中，选出3名，记选出喜欢“自然景观”景点的人数为X，求X的分布列、数学期望.
P(K2?k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 x2?y2?1221．（12分）已知椭圆E的方程为a，点A为长轴的右端点．B,C为椭圆E上关于原点对称的
kAB和kAC两点．直线AB与直线AC的斜率
满足：
kABgkAC??12．求椭圆E的标准方程；若直线
l:y?kx?t与圆
点．
x2?y2?23相切，且与椭圆E相交于M,N两点，求证：以线段MN为直径的圆恒过原
222．（10分）已知等差数列?an?的公差为d，且关于x的不等式a1x?dx?3?0的解集为??1,3?，
(Ⅰ)求数列?an?的通项公式；
(Ⅱ)若bn?2?an?1????2??an，求数列?bn?前n项和Sn．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．A 2．B 3．A 4．C 5．D 6．A 7．B 8．D 9．A 10．D 11．C 12．D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
313．2 4
14．3 15．③
3?2216．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）??【解析】 【分析】
?6???R?，?2?4（2）3?cos??2?sin??3?0；
37 3（Ⅰ）根据直角坐标和极坐标方程的转化方法，化为极坐标方程。
11?（Ⅱ）利用极坐标方程的意义，求得两个交点的ρ值，进而求得值。 OAOB【详解】
（Ⅰ）由x?3?1?t??3y得y?由x?2322?3x.极坐标方程为?????R?.
63??2??y?1??16， x2?y2?43?2y?3?0.
2由x?y??知x??cos?,y??sin?.则?2?43?cos??2?sin??3?0. （Ⅱ）将???62代入， ??6????3?0.即??5??3?0.
2由极坐标几何意义，设A??1,???????,B?,??2?, ??2?0?. 6??6?即
1111?2??1?25?1237?????? OAOB?1?2?1?2?33【点睛】
本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，并利用极坐标方程求交点间的距离，属于中档题。
21?2sin2?）?3，??a?（??R）18．23] （1）?（（2）[3，2?【解析】 【分析】
（1）直接消去参数a，得C1的普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得C1的极坐标方程；由C2的极坐标方程为θ=a（ρ∈R），直接得到C3的极坐标方程；
（2）将C2与C3的极坐标系方程与C1：ρ2（1+2sin2θ）=3联立，分别求得|AB|，|CD|，写出四边形ACBD面积，再由三角函数求面积的取值范围． 【详解】
x221?2sin2?）?3； （1）.C1的普通方程为?y2?1，极坐标方程为C1：?（3C3：??a?（??R）
221?2sin2?）?3联立以后有： （2）.将C2与C3的极坐标系方程与C1:?（?
【附加15套高考模拟试卷】河南省郑州市2020届高三第二次质量预测数学(理)试卷含答案
