第2课时 等比数列的性质及应用
课后篇巩固探究
A组
1.已知数列{an}是等比数列,给出以下数列:①{|an|};②{an-an+1};③;④{kan}.则其中一
定是等比数列的是( ) A.①②③ B.②③ C.①③ D.②③④
解析当数列{an}为1,1,1,1,…时,数列{an-an+1}不是等比数列;当k=0时,数列{kan}不是等比
数列,而{|an|}和答案C 一定是等比数列.
2.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9=2,a2=1,则a1=( )
A. B.
2
C.
8
42
2
D.2
解析设公比为q,由已知,得a1q·a1q=2(a1q).q=2.因为等比数列{an}的公比为正数,所以
q=,所以a1=,故选B.
答案B 3.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=( ) A.-4 B.-6 C.-8 D.-10 解析依题意可知=a1a4,即(a1+4)=a1(a1+6),解得a1=-8,于是a2=-8+2=-6.
答案B 4.已知等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=( ) A.12 B.10 C.1+log35 D.2+log35 解析因为{an}是等比数列,所以a5a6=a4a7=9,于是
55
log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3(a5a6)=log39=10. 答案B 5.在等比数列{an}中,若a7=-2,则该数列的前13项的乘积等于( )
1313
A.-2 B.2 C.26 D.-26 解析因为{an}是等比数列,所以a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=,于是该数列的前13项的乘积为a1a2…a13=2
=(-2)13=-213.
答案A 6.已知数列{an}是首项为a1=4的等比数列,且4a1,a5,-2a3成等差数列,则其公比q等于 .
解析依题意,得2a5=4a1-2a3,即2a1q=4a1-2a1q,整理,得q+q-2=0,解得q=1(q=-2舍去),所以q=1或q=-1. 答案1或-1
7.已知数列{an}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8= .
424222
解析设{an}的公比为q,则a9+a11=q(a3+a5),于是q=66
=8,因此q3=±2
,所以
a6+a8=q3(a3+a5)=±36
答案±36
.
8.在两数1,16之间插入3个数,使它们成等比数列,则中间的数等于 .
2
解析设插入的三个数分别为a,b,c,则b=16,∴b=±4. 设其公比为q,
∵b=1·q2>0,∴b=4. 答案4 9.等比数列{an}同时满足下列三个条件:①a1+a6=11,②a3·a4=,③三个数a2,,a4+依次成等差数列,试求数列{an}的通项公式.
解由等比数列的性质知a1a6=a3a4=,所以解得
时,q=2,所以an=·2,
n-1
这时a2+a4+,2,所以a2,,a4+成等差数列,故an=·2.
n-1
当时,q=,an=·2, a2+a4+≠2,不符合题意.
6-n故通项公式an=·2.
10.导学号04994043设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求an. 解设数列{an}的首项为a1,公比为q, ∵b1+b2+b3=3,∴log2a1+log2a2+log2a3=3, ∴log2(a1a2a3)=3,∴a1a2a3=8,∴a2=2.
∵b1b2b3=-3,∴log2a1·log2a2·log2a3=-3,
n-1
∴log2a1·log2a3=-3,∴log2·log2a2q=-3,
即(log2a2-log2q)·(log2a2+log2q)=-3,
即(1-log2q)·(1+log2q)=-3,解得log2q=±2.
当log2q=2时,q=4,a1=,所以an=×4=2
n-12n-3
;
当log2q=-2时,q=,a1==8,所以an=8×=25-2n.
B组
1.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N),且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)的值为( ) A.-5
B.-
C.5
D.
*
解析∵log3an+1=log3an+1,∴=3,
是
等
比
数
列
,
公
比
∴数列{an}q=3,∴lo(a5+a7+a9)=lo(a2q+a4q+a6q)=lo[(a2+a4+a6)q]=lo(9×3)=-5.
答案A 2.某工厂去年产值为a,计划10年内每年比上一年产值增长10%,那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a ( ) A.6 B.7 C.8 D.9
2n解析设从今年起第n年这个工厂的产值为an,则a1=1.1a,a2=1.1a,…,an=1.1a.依题意,得nn1.1a>2a,即1.1>2,解得n≥8. 答案C 3.已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2a4=4,a1+a2+a3=14,则满足an·an+1·an+2>的最大正整数n的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6
33333
解析由a2a4=4,a1+a2+a3=14可求得a1=8,q=,于是an=8·=24-n,从而
anan+1an+2=24-n·23-n·22-n=29-3n.令29-3n>,经检验知,最大正整数n的值为4.
答案B 4.若实数a,b,c成等差数列,a+1,b+1,c+4成等比数列,且a+b+c=15,则a,b,c的值分别为 .
解析依题意可得
高中数学第二章数列2.4.2等比数列的性质及应用练习新人教a版必修8
