第三章能力检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)
1．设 {a，b，c}是空间一个基底，则一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成空间的另一个基底的向量是( )
A．a C．c 【答案】C
【解析】向量p，q均与a，b共面，所以只能与c组成基底．
2．已知空间直角坐标系中点A(1,0,0)，B(2,0,1)，C(0,1,2)，则平面ABC的一个法向量为( ) A．(－1，－3,2) C．(1,3,1) 【答案】B
→→→【解析】AB＝(1,0,1)，AC＝(－1,1,2)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB→＝x＋z＝0，n·AC＝－x＋y＋2z＝0，n＝(1,3，－1)为平面ABC的法向量．故选B．
→→→→→→
3．设A，B，C，D是空间不共面的四点且满足AB·AC＝0，AB·AD＝0，AC·AD＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 C．锐角三角形 【答案】C
→→→→→→→→→→→→【解析】由AB·AC＝0，AB·AD＝0，AC·AD＝0，可知AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，即三棱锥ABCD的三侧棱两两垂直，则其底面为锐角三角形．
4．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为( ) A．0° C．90° 【答案】C
2－2a·b【解析】cos〈a，b〉＝＝＝0，∴a与b的夹角为90°.
|a||b|5·65．(2019年陕西西安期末)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于t，点E，→→
F分别是BC，AD的中点，则AE·AF等于( )
A．
32
t 2
B．32t 4B．45° D．180° B．直角三角形 D．不确定 B．(1,3，－1) D．(－1,3,1) B．b D．a或b
1
C．t2
2【答案】D
1D．t2
4
→→→
【解析】设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝t，且a，b，c三向量两两夹角为60°.1111→1→1→→1又AE＝(a＋b)，AF＝c，故AE·AF＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(t2cos 60°＋t2cos 60°)＝t2.
2222444
6.已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为直线l的一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为( )
A.2 B.
10232
C. D. 222
【答案】D
2n
【解析】PA＝(－2,0，－1)，|PA|＝5，PA·＝－，则点P到直线l的距离为
|n|2n
PA·?2＝|PA|2－?|n|??
132
5－＝. 22
→→→→→→
7．空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上且OM＝2MA，N为BC→
中点，则MN等于( )
121A．a－b＋c
232112C．a＋b－c
223【答案】B
21211→→→→2→→1→
【解析】如图，MN＝MO＋OC＋CN＝AO＋OC＋CB＝－a＋c＋(b－c)＝－a＋b＋
3232322c.
211
B．－a＋b＋c
322221D．a＋b－c
332
8．(2019年黑龙江哈尔滨模拟)已知空间向量a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为( )
A．
65 2
B．65
C．4 【答案】B
D．8
4
【解析】|a|＝3，|b|＝3，而a·b＝4＝|a||b|·cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝，故sin〈a，b〉
9＝
4?265651－?＝，于是以a，b为邻边的平行四边形的面积为S＝|a||b|sin〈a，b〉＝3×3×?9?99
＝65.故选B．
9．已知e1，e2，e3是空间中不共面的三个向量，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1
＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3且d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为( )
51
A．，－，－1
2251C．－，，1
22【答案】A
【解析】d＝xa＋yb＋zc＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x－y)e3＝e1＋2e2＋3e2，由空间向量x＋y＋z＝1，??
基本定理，空间任一向量都可以用一个空间基底唯一表示，从而得到?x－y＋z＝2，
??x－y＝3.51
＝，y＝－，z＝－1.故选A． 22
10．(2019年河北石家庄模拟)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝2，CC1＝2，则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为( )
A．1 1
C．
2【答案】A
→→
【解析】取线段A1B1，AB的中点分别为O，D，则OC1⊥平面ABB1A1，∴可以以OB1，OC1，→
OD的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz，如图，则A(－1,0，2)，→→→→B1(1,0,0)，B(1,0，2)，C1(0，3，0)，∴AB1＝(2,0，－2)，BC1＝(－1，3，－2)．∵AB1·BC1→→＝(2,0，－2)·(－1，3，－2)＝0，∴AB1⊥BC1，即异面直线AB1和BC1所成的角为直角，则其正弦值为1.故选A．
B．D．
7
73 251B．，，1
2251
D．－，－，－1
22
解得x
2020-2021学年人教A版数学选修2-1作业：能力检测 第3章 空间向量与立体几何
