2019-2020年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I
第3讲 函数的奇偶性与周期性练习
一、选择题
1.(xx·肇庆三模)在函数y＝xcos x，y＝e＋x，y＝lgx－2，y＝xsin x中，偶函数的个数是( ) A.3
B.2
x2
x22
C.1 D.0
2
解析 y＝xcos x为奇函数，y＝e＋x为非奇非偶函数，y＝lgx－2与y＝xsin x为偶函数. 答案 B
2.(xx·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( ) A.奇函数，且在(0，1)内是增函数 B.奇函数，且在(0，1)内是减函数 C.偶函数，且在(0，1)内是增函数 D.偶函数，且在(0，1)内是减函数
解析 易知f(x)的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数，
又y＝ln(1＋x)与y＝－ln(1－x)在(0，1)上是增函数， 所以f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(0，1)上是增函数. 答案 A
?x1?3.已知函数f(x)＝x?e－x?，若f(x1) e?? A.x1>x2 C.x1 B.x1＋x2＝0 D.x1 2 2 ?1x?解析 ∵f(－x)＝－x?x－e?＝f(x). ?e? ∴f(x)在R上为偶函数， 1 e 1?f′(x)＝ex－x＋x?e＋x?， e ?? x? ∴x>0时，f′(x)>0， ∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数， 由f(x1) 4.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1) 2 2 等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 ?－f（1）＋g（1）＝2，? 解析 由已知得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，则有?解得g(1) ?f（1）＋g（1）＝4，? ＝3. 答案 B 5.(xx·杭州一模)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为( ) A.2 B.1 C.－1 D.－2 解析 ∵f(x＋1)为偶函数， ∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)， 又y＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0. 从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期为4. ∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2. 答案 A 二、填空题 6.若f(x)＝ln(e＋1)＋ax是偶函数，则a＝________. 解析 由于f(－x)＝f(x)， ∴ln(e －3x3x＋1)－ax＝ln(e＋1)＋ax， 3x化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0， 3 ∴a＝－. 23 答案 － 2 7.(xx·湖州质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x) ??x（1－x），0≤x≤1，?29??41?＝?则f??＋f??＝________. ?4??6??sin πx，1 3?7??29??41???解析 由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f??＋f??＝f?2×4－?＋f?2×4－?4?6??4??6???3π5?3??7??3??7?＝f?－?＋f?－?＝－f??－f??＝－＋sin ＝. 16616?4??6??4??6?答案 5 16 2 x＋2x＋1，x>0，?? 8.(xx·舟山调研)若函数f(x)＝?a，x＝0，为奇函数，则a＝________，f(g(－2)) ??g（2x），x<0 ＝________. 解析 由题意，a＝f(0)＝0.设x<0，则－x>0，f(－x)＝x－2x＋1＝－f(x)，∴g(2x)＝－x＋2x－1，∴g(－2)＝－4，∴f(g(－2))＝f(－4)＝－f(4)＝－(16＋8＋1)＝－25. 答案 0 －25 三、解答题 9.设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x. (1)判定f(x)的奇偶性； (2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式. 解 (1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x). 又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x). 又f(x)的定义域为R， ∴f(x)是偶函数. (2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]， 则f(x)＝f(－x)＝x； 进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0， 2 2 f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2. －x，x∈[－1，0]，?? 故f(x)＝?x，x∈（0，1）， ??－x＋2，x∈[1，2]. －x＋2x，x>0，?? 10.已知函数f(x)＝?0，x＝0，是奇函数. ??x2＋mx，x<0(1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围. 解 (1)设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)＋2(－x)＝－x－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x). 于是x<0时，f(x)＝x＋2x＝x＋mx， 所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增， 结合f(x)的图象知? ?a－2>－1，? ??a－2≤1， 2 2 2 2 2 所以1 故实数a的取值范围是(1，3]. (建议用时：25分钟)
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