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2016年上海市高三数学竞赛试卷
2016年3月27日上午9：30～11：30
【说明】解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上.
一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）
1． 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c均为常数),函数f1(x)的图像与函数f(x)的图像关于y轴对称，函数f2(x)的图像与函数f1(x)的图像关于直线y=1对称，则函数f2(x)的解析式是 ．
2．复数z满足|z|=1, w=3z2?方程为 ．
3. 关于x的方程arctan2x?arctan2?x?2在复平面上对应的动点W所表示曲线的普通2z?6的解是 ．
4. 红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6；则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能．
5. 已知函数f(x)=cos(?x),g(x)=2xa?1(a≠0);若存在x1、x2?[0,1],使f(x1) 2=f(x2)成立，则实数a的取值范围为 ．
6. 如图，有16间小三角形的房间.甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形的房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是 ．（用分数表示）
7. 在空间，四个不共线的向量OA、OB、
OC、OD,它们两两间的夹角都是?，则?的大小是 ．
8.已知a>0,b>0,a3+b3=1,则a+b的取值范围为 ．
二、解答题（本大题满分60分）
9．（本题满分15分）如图，已知五边形A1B1C1D1E1内接于边长为1的正五边形ABCDE；
A
E1
E
D1
D
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A1 B
B1
C
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求证：五边形A1B1C1D1E1中至少有一条边的长度不小于cos?5．
10．（本题满分15分）设p，q和r是素数，且p|qr?1(p|qr?1表示qr?1能被p整除)，q|rp?1和r|pq?1;求pqr的所有可能的值．
1111．（本题满分15分）已知数列?an?满足递推关系an?1??an?n（n?N*）;
23求所有a1的值，使?an?为单调数列，即?an?为递增数列或递减数列.
12．（本题满分15分）已知等边三角形ABC的边长为5，延长BA至点P，使得|AP|=9. D是线段BC上一点（包括端点），直线AD与?BPC的外接圆交于E、F两点，其中|EA|<|ED|.
(1)设|BD|=x,试将|EA|?|DF|表示为关于x的函数f(x);
(2)求f(x)的最小值.
一、填空题
B
A E P D F
C
y2?1. 3．x?log23. 1．f(x)?ax?bx?2?c. 2． x?25224．48． 5. [?二、解答题
13171,0)(0,]. 6. 7. arccos(?) 8. (1,34] 222039、已知五边形A1B1C1D1E1内接于边长为1的正方形ABCDE；求证：五边形
A1B1C1D1E1中至少有一条边的长度不小于cos?5。
证明：AE1,AA1,BA1,BB1,CB1,CC1,DC1,DD1,ED1,EE1的长分别为
a1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2,e1,e2。
于是(a1?a2)?(b1?b2)?(c1?c2)?(d1?d2)?(e1?e2)?5
由平均数原理，(a1?a2),(b1?b2),(c1?c2),(d1?d2),(e1?e2)必有一个大于等于1。
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不妨设a1?a2?1，故a2?1?a1。
10．解：由题设可知pqr|(qr?1)(rp?1)(pq?1)；
?pqr|pq?qr?rp?1,即
pq?qr?rp?11111????为正整数；
pqrpqrpqr记k?11113???,由于p,q,r?2,故1?k?,从而只能k?1. pqrpqr2由对称性，不妨设p?q?r； 若p?3,则k?111???1,矛盾，故p?2. pqr若q?3,则q?5,k?12??1,矛盾. 25若q?2,则k?1111??(?)?1,也矛盾，故q?3. 22r4r最后，由1?1111???,得r?5. 23r6r经检验，p?2,q?3,r?5符合题意. ?pqr?30.
11. 解：an?1??111an?n(n?N*)?3n?1an?1???3n?1an?3, 2323636bn?3,bn?1??(bn?),(n?N*) 2525n令bn?3an,则bn?1??若a1?222252?0,则由(?)n?1?a1?，可得n?1?log2(a1?),
5355253*故当n?N,且n?1?log2(3222252a1?)时，(?)n?1?(a1?)与a1?同号；
535525而(?)12n?1正负交叉，从而an正负交叉，{an}不是单调数列.
当a1?221n?1时，an?()为递减数列; 5533word版本可编辑.欢迎下载支持.
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综上，当且仅当a1?2时，{an}为单调数列. 512. 解：（1）设u?EA,v?AD,??DF,则f(x)?u?w. 在ABD中，由余弦定理得，v?AB?BD?2ABBDcos?ABD 22?52?x2?2?5x?1?2x2?5x?25.
在PBC的外接圆中运用相交弦定理，得EAAF?BAAP,EDDF?BDDC, 即u(v?w)?45,(u?v)w?x(5?x);两式相减得v(u?w)?x?5x?45,故 （2）设t?2x2?5x?25?0，则
f(x)?x2?5x?45t2?202020??t??2t??45.
2tttx?5x?255?520时等号成立，即t?x2?5x?25?25，解得x?
2t5?5时，f(x)取到最小值45。 2当且仅当t?所以，当x?4word版本可编辑.欢迎下载支持.
2020年上海市高三数学竞赛试卷答案
