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1．观察法（求出a1、a2、a3，然后找规律）
即归纳推理，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，然后利用数学归纳法加以证明即可。
例1.设a1?1，an?1?an?2an?2?b(n?N?)，若b?1，求a2,a3及数列{an}的通项公式．
解：由题意可知：a1?1?1?1?1， 2a2?a1?2a1?2?1?2?2?1?1， a3?a2?2a2?2?1?2?1?3?1?1. 因此猜想an?n?1?1. 下面用数学归纳法证明上式． （1）当n＝1时，结论显然成立． （2）假设当n＝k时结论成立，即ak?k?1?1. (3)则ak?1?ak?2ak?2?1?(ak?1)2?1?1?(k?1)?1?1?(k?1)?1?1， 即当n＝k＋1时结论也成立． 由（1）、（2）可知，对于一切正整数n，都有an?n?1?1(n?N?)．（最后一句总结很重要） 2222．定义法（已知数列为等差或者等比） 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。 例2.已知等差数列?an?满足a1?a2?10，a4?a3?2，求?an?的通项公式。 解：设等差数列?an?的公差为d. 因为a4?a3?2，所以d?2.
又因为a1?a2?10，所以2a1?d?10，故a1?4. 所以an?4?2(n?1)?2n?2(n?1,2,).
精心整理 3．公式法
若已知数列的前n项和sn与an的关系，求数列?an?的通项an可用公式
求解。（一定要讨论n=1，n≥2）
例3.设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn?3n?3. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式。 解：（Ⅰ）由2Sn?3n?3 1可得：当n?1时，a1?S1?(3?3)?3， 211当n?2时，an?Sn?Sn?1?(3n?3)?(3n?1?3)?3n?1(n?2) 22而a1?3?31?1， ?3,n?1,所以an??n?1 3,n?1.?4．累加法 当递推公式为an?1?an?f(n)时，通常解法是把原递推公式转化为an?1?an?f(n)。 例4.数列{an}满足a1?1，且an?1?an?n?1（n?N*），则数列{}的前10项和为 解：由题意得： 5．累乘法 当递推公式为an?1?anf(n)时，通常解法是把原递推公式转化为用累乘法(逐商相乘法)求解。
2nan，求an的通项公式。 例5.已知数列?an?满足a1?,an?1?3n?1an?1?f(n)，利an 解：由条件知
an?1n， ?ann?1在上式中分别令n?1,2,3,?,(n?1)，得n?1个等式累乘之，
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aa2a3a4123n?1a1?????n??????，即n? a1a2a3an?1234na1n即
又?a1?22 ?an?33n6.构造法（拼凑法）-共5种题型，第2、3种方法不必掌握
1、当递推公式为an?1?pan?q（其中p,q均为常数，且pq(p?1)?0）时，通常解法是把原递推公式转化为an?1?t?p(an?t)，其中t?化为等比数列求解。 例题：已知数列{an}满足a1?1,an?1?3an?1，求{an}的通项公式。 解：由an?1?3an?1 得an?1?又a1?11?3(an?) 22q，再利用换元法转1?p13? 2213所以{an?}是首项为，公比为3的等比数列 2213n?13n所以an???3? 2223n?1因此数列{an}的通项公式为an?. 22、当递推公式为an?1?pan?kn?b(其中p,k,b均为常数，且pk?0)时，通常解法是把原递推公式转化为an?1?x(n?1)?y?p(an?xn?y)，其中x,y的值由方程?px?x?k给出。（了解即可，不必掌握） ??py?x?y?b例题：在数列{an}中，a1=2，an?1=4an?3n?1，求数列{an}的通项an。 解：由an?1?4an?3n?1 得an?1?(n?1)?4(an?n) 又a1?1?1
求数列通项公式的十种办法
