第13讲 平面向量
考点1：向量的基本概念和线性运算
一、基本概念
1. 向量的概念：
在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量． 2. 向量的表示：
①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度．
? ，注意起点在前，终点在后． ②字母表示法：????????3.相等向量：
同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量． 4. 向量共线或平行：
????? 的直线，叫做向量????????? 的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称通过有向线段????
? ，记作??? ． 这些向量共线或平行．向量?? 平行于向量?? ∥??5. 零向量：
长度等于零的向量，叫做零向量．记作：? 0．
零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行．
二、平面向量的线性运算
1. 向量的加法：
bbaa+baaa+bb
(1)向量加法的三角形法则：
? ，在平面上任取一点??，作????? ，再作向量????????? =??????? =??????? ，则向量????????? 叫已知向量?? ,?? ，????
? 的和（或和向量）? ，即??? =????????? +????????? =????????? ． 做?? 和??，记作?? +?? +??(2)向量求和的平行四边形法则：
? ，作????? ，则??，??，??三点不共线，以????????? =??????? ，????? ①已知两个不共线的向量?? ，?? ，????? ????=?????? 为
? ，这个法则叫做向量求和的平行四????? =??邻边作平行四边形????????，则对角线上的向量???? +??边形法则．
②向量的运算性质：
? =??? +??向量加法的交换律：?? +??
? )+??? +??向量加法的结合律：(?? +?? =?? +(?? )
关于? 0：?? +? 0=? 0+?? =?? 2. 向量的减法：
aaa-bbb
(1)相反向量：与向量?? 方向相反且等长的向量叫做?? 的相反向量，记作??? ． (2)零向量的相反向量仍是零向量．
(3)差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．
(4)一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
3. 数乘向量：实数?和向量a的乘积是一个向量，记作?a，且?a的长
?a??a
4. 向量共线的条件：
? ，? ；? ，? ≠0? ．? ，如果?? =????则?? ∥??反之，如果?? ∥??且??则一定存在唯一的一个实数??，使?? =????
典例精讲
【典例1】已知|??|=|??|=2，且?????=0，??=(??+??)，|?????|=√2，则|??|的取值范围
2
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1→
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→
是（ ）
A．[0，2√2] B．[0，2] C．[0，√2] D．[0，1]
【分析】由题意，由于两向量垂直，所以可以将两向量放到坐标系内，如图可令??=(2，0)，→
→
??=(0，2)，从而转化为坐标情况下向量问题的研究，问题易解 【解答】解：由题意，|??|=|??|=2，且?????=0，
所以可将两向量放到坐标系内，如图可令??=(2，0)，??=(0，2)， ∴??=2(??+??)=（1，1），
令??=(??，??)，因为|?????|=√2，所以向量??的终点在以（1，1）为圆心，以√2为半径的圆上，
又圆到原点的距离是√2，所以|??|的取值范围是[0，2√2]， 故选：A．
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1→
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【点评】本题考查向量的模的求法，以及向量的模的几何意义，向量的坐标表示，根据题意，灵活选用基向量法与坐标法可以大大降低解题的难度 【典例2】已知向量??，??满足|??|＝1，且对任意实数x，y，|??的最小值为√3，则|??+??|＝（ ）
A．√7 B．√5+2√3 C．√7或√3 D．√5+2√3或√5?2√3 【分析】取??=（1，0），??=（c，d），|???x??|=√(1?????)2+??2??2，展开利用二次函数的
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→→√3?x??|的最小值为2，|???y??|→
高考数学一轮复习13 高三第13讲 复习 平面向量
