第3篇 动力学
第10章 质点运动微分方程
一、目的要求
1．对质点动力学的基本概念（如惯性、质量等）和动力学基本定律要在物理课程的基础上进一步理解其实质。
2．深刻理解力和加速度的关系，能正确地建立质点的运动微分方程，掌握质点动力学第一类基本问题的解法。
3．掌握质点动力学第二类基本问题的解法，特别是当作用力分别为常力、时间函数、位置函数和速度函数时，质点直线运动微分方程的积分求解方法。对运动的初始条件的力学意义及其在确定质点运动中的作用有清晰的认识，并会根据题目的已知条件正确提出运动的初始条件。 二、基本内容
1．基本概念：
动力学的基本定律，质点的运动微分方程；质点动力学的两类基本问题。 2．主要公式：
????（1）牛顿第二定律：F?ma（式中，质点的质量为m，所受合力为F，其加速度为a。）
（2）质点运动微分方程
?????d2r???1）矢径形式：F?m2或mr?F，F??Fi
dtd2xd2yd2z2）直角坐标形式：m2??Fx，m2??Fy，m2??Fz
dtdtdt?2d?3）自然坐标形式：m??Fn，mFb ??F?，0??dt强调：动力学基本定律仅在惯性参考系中成立，因此，公式中的速度、加速度指的是绝对速度和绝对加速度。 三、重点和难点
1．重点：
（1）建立质点运动微分方程。
（2）求解质点动力学的两类基本问题。 2．难点：
在质点动力学第二类问题中，根据题目所要求的问题对质点运动微分方程进行变量交换后再积分的方法。 四、教学提示
1．建议
（1）在复习物理课程有关内容的基础上，进一步理解动力学各定律的实质，了解古典力学的适用范围。
（2）复习和运用静力学中的合力投影定理与点的运动学知识，学习如何建立不同形式的质点运动微分方程。
（3）注意区分质点动力学的两类基本问题及其解题特点，归纳动力学问题的解题步骤。
?2.建议学时
课内（2学时）课外（3学时） 3．作业
10-5，10-12，10-14
第11章 质心运动定理 动量定理
一、目的要求
1．使学生认识到质点系（刚体、刚体系）是动力学的主要力学模型，解决质点系（刚体、刚体系）动力学问题的两类问题
2．对质点系（刚体、刚体系）的质心、动量等概念有清晰的理解，能熟练地计算质点系（刚体、刚体系）的动量。
3．能熟练地应用质点系的动量定理、质心运动定理（包括相应的守恒定律）求解动力学问题。
二、基本内容
1．基本概念
（1）质点系的质心、质点系（刚体、刚体系）的动量的概念及计算。 （2）质点系的动量定理（质心运动定理）。 2．主要公式
（1）质点系（刚体、刚体系）质心的计算
????miri??miric1）矢径形式 rc? 或 rc?
MM2）直角坐标形式
?mixi?miyi?mizixc?，yc?，zc?
MMM????其中 ri?xii?yij?zik为第i个质点到固定点O的矢径。
????rc?xci?ycj?zck为质点系的质心到固定点O的矢径。 ?ric为第i个刚体的质心到固定点O的矢径。
mi为第i个质点的质量，M??mi为质点系（刚体、刚体系）的质量。 （2）质点系（刚体、刚体系）动量的计算
???1）矢径形式 P??mivi?Mvc 2）投影形式
px??mivix，py??miviy，pz??miviz，
P?Px2?Py2?Pz2
注意：动量是矢量，需要时还要计算动量的方向。 （3）动量定理（质心运动定理）
?n?n?dp?(e)??Fi (Mac??Fi(e)) dti?1i?1n??n??(e)式中p??Mivi?Mvc，是质点系某瞬时的动量，?Fi是质点系所受外力的主矢量。ac为
i?1i?1质点系心的加速度。 三、重点和难点
1．重点：
（1）质点系（刚体、刚体系）质心、动量的计算。 （2）质点系动量定理、质心运动定理。 2．难点：
质点系动量定理、质心运动定理的应用。 1．建议
（1）强调动量中所用到的速度为绝对速度。
（2）通过举例熟练掌握微分形式的动量定理、质点系的质心运动定理的应用，讲清各自的解题特点，尤其求简单机构的约束反力。
（3）明确质心守恒的条件及应用守恒定律求解的有关问题。
2.建议学时
课内（4学时）课外（6学时） 3．作业
11-3，11-4，11-12，11-13，11-4
第12章 动量矩定理
一、目的要求
1．对质点系（刚体、刚体系）的动量矩，质点系（刚体、刚体系）对某轴的转动惯量等概念有清晰的理解，能熟练地计算质点系对某定点（轴）的动量矩，根据刚体（系）的运动计算刚体（系）对某点（轴）和质心的动量矩，会用定义、平行移轴定理和组合法（分割法）计算刚体对某轴的转动惯量。
2．能熟练地应用质点系的动量矩定理（包括动量矩守恒）和刚体绕定轴转动微分方程求解动力学问题。
3．会应用相对质心的动量矩定理和刚体平面运动微分方程求解动力学问题。 二、基本内容
1．基本概念
（1）质点系（刚体、刚体系）对某定点（轴）和质心的动量矩、转动惯量的概念及计算。 （2）质点系的动量矩定理、刚体绕定轴转动微分方程、质点系相对于质心的动量矩定理、刚体平面运动微分方程。
2．主要公式
（1）质点系（刚体、刚体系）对某定点（轴）及质心的动量矩的计算 1）质点系对某定点（轴）及质心的动量矩 ????????L0??m0(mivi)??ri?mivi?rc?mvc?Lc ?????Lc??ri??mivi??rc??mivir 为质点系对质心C的动量矩。
???Lz??mz(mivi)?[?m0(mivi)]z?[L0]z，z是过定点O的轴。 2）平动刚体对某定点O的动量矩
???L0?Mrc?vc
3）绕定轴转动刚体对转轴z的动量矩
Lz?(?miri2)??Jz?
4）平面运动刚体对运动平面内定点O的动量矩
L0?Mrcvcsin??Jc?
???vi,vir分别为第i个质点的绝对速度和相对于坐标原点在质心的平动坐标系的速度，vc为质点系（刚体、刚体系）质心的绝对速度，Jz、Jc分别为刚体对转轴和质心轴的转动惯量，?为定点O到质点系质心的矢径与质心速度的夹角，?为刚体转动的角速度。
（2）转动惯量
1）定义 Jz??miri2??mr2dm
22）引入回转（惯性）半径 Jz?m?z
?z为刚体对转轴的回转半径
3）平行轴定理 Jz?Jzc?Ml2
l为轴Z和轴Zc间的距离
4）组合法（分割法）
??Jz?????Jzn Jz?Jz?n??(e)dL0??M0(Fi) （a）dti?1?????L0??m0(mivi)??ri?mivi是质点系对定点O的动量矩 n??(e)??(e) ?m0(Fi)??ri?Fi是外力系对O点的主矩
i?1（3）动量矩定理（刚体绕定轴转动微分方程，刚体平面运动微分方程）
d???Mz(Fi) （b）dtJz??miri2，是刚体对转轴z的转动惯量
???(e)dLcJc??Mc(Fi)
dtn(e)?Macx??Fix?i?1?n(e)?Macy??Fiy? （c） i?1?Jc??Mc(Fi(e))???2式中JC??miri，是平面运动刚体对质心C的转动惯量。/
JzMc(Fi(e))是外力系对质心C的主矩。
三、重点和难点
1．重点：
（1）质点系（刚体、刚体系）动量矩、转转惯量的计算。 （2）质点系的动量矩定理和刚体绕定轴转动微分方程。 2．难点：
（1）质点系（刚体、刚体系）对某定点（轴）动量矩的概念及计算方法。 （2）相对质心的动量矩定理、刚体平面运动微分方程的应用。 四、教学提示
1．建议
（1）强调动量矩中所用到的速度、角速度均为绝对速度、绝对角速度。 （2）通过复习力对点之矩的计算引出动量对点之矩——动量矩的概念。 （3）刚体对定点（轴）的动量矩的计算与刚体的运动有关。
（4）强调应用动量矩定理、刚体绕定轴转动微分方程解题的关键是会正确地构造出等式两端的各项，多做相应的练习。
（5）讲清楚相对于质心的动量矩定理的引出及力学意义。 （6）讲清楚如何选取研究对象建立刚体的平面运动微分方程，如何利用运动学条件加列补
充方程。
2.建议学时
课内（6学时）课外（9学时） 3．作业
12-2，12-3，12-12，12-9，12-10，12-11，12-18，12-21，12-24，12-26，12-28，12-30，12-34，12-35
第13章 动能定理
一、目的要求
1．对功和功率的概念有清晰的理解，能熟练地计算重力、弹性力和力矩的功。
2．能熟练地计算平动刚体、定轴转动刚体和平面运动刚体的动能，重力和弹性力的势能。 3．熟知何种约束反力的功为零，何种内力的功之和为零。 4．能熟练地应用动能定理和机械能守恒定律解动力学问题。 5．能熟练地应用动力学基本定理解动力学的综合问题。 二、基本内容
1．基本概念
力的功；质点和质点系的动能；动能定理；功率、功率方程、机械效率；势力场、势能、机械能守恒定律；动力学基本定理的综合应用。
2．主要公式
微分形式 dT???Wi?1nFi
Fi积分形式 T2?T1??W
具有理想约束的质点系，其动能的改变（增量或对时间的一阶导数），等于作用于质点系的主动力的元功之和；在理想的约束条件下，质点系在某一段运动过程中起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的主动力在这段过程中所作的功的和。 三、重点和难点
1．重点：（1）力的功和物体动能的计算。
（2）动能定理和机械能守恒定律的应用。 （3）动力学基本定理的综合问题。
2．难点：综合应用动力学基本定理求解动力学问题，运动学补充条件（方程）的提出。 四、教学提示
1．建议
（1）讲清力的功的一般形式，反复练习重力的功、弹性力的功和力矩的功的计算，搞清圆轮纯滚时摩擦力为什么不作功。
（2）在复习物理课程有关内容的基础上，熟练计算刚体系统的动能，强调动能表达式中的速度（角速度）一定用绝对速度（绝对角速度）；反复练习取整体为研究对象，用动能定理求运动的问题；强调用动能定理的积分形式可求解任何运动问题；强调用动能定理解题是以整体为研究对象。
（3）讲清动量、动量矩定理与动能定理的异同点。通过练习，明确各定理适合求解的问题及解题特点。
（4）本章重点是动力学基本定理的综合应用，要多举各种类型的例子，把握“先求运动后求力”的解题思路，使学生熟练掌握。强调求运动，可用动能定理，求力可用动量定理（质心运动定理）。
质点运动微分方程
