第二课时 诱导公式(二)
预习课本P26～27，思考并完成以下问题 π
(1)－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？
2
(2)诱导公式五、六有哪些结构特征？
[新知初探]
诱导公式五和公式六
[点睛] 这两组公式实现正弦和余弦的相互转化．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( ) (2)sin(90°＋α)＝－cos α.( ) 答案：(1)× (2)× 2．已知sin??5π＋α?2?＝1，那么cos α＝( ) ?5?
1B．－ 5
2
A．－
5
1C． 5答案：C
2D． 5
?π?1?π?3．若cos?－α?＝，则cos?＋α?＝( ) ?2?2?2?
1
A．－ 2C．－3 2
1B． 2D．3 2
答案：A 4．化简：sin?
?3π＋α?＝________.
?
?2?
答案：－cos α
利用诱导公式化简 [典例] 化简： ?π??π
sin?＋α?cos?－α?2??2
π＋α
???
π－α
＋π＋α
?π＋α??2???
. ?π??π?[解] ∵sin?＋α?＝cos α，cos?－α?＝sin α，
?2??2?
cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，
?π?cos?＋α?＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α，
?2?
cos α·sin αsin α－sin α∴原式＝＋－cos α－sin α
用诱导公式进行化简的要求 (1)化简后项数尽可能的少． (2)函数的种类尽可能的少． (3)分母不含三角函数的符号． (4)能求值的一定要求值． (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． [活学活用] 化简：(1)
α－π
π－α
π??π??·sin?α－?cos?＋α?； 2??2??
＝－sin α＋sin α＝0.
π???3π
(2)sin(－α－5π)cos?α－?－sin?＋α
2???2cos[－π－α
解：(1)原式＝sin α＝＝
π－αsin α
?cos(α－2π)． ??
??π??·sin?－?－α??(－sin α) ??2??
??π??·?－sin?－α??(－sin α)
??2??
－cos α
·(－cos α)(－sin α)
sin α
2
＝－cosα.
??π??(2)原式＝sin(－α－π)cos?－?－α??＋cos α· ??2??
cos[－(2π－α)]
?π?＝sin[－(α＋π)]cos?－α?＋cos αcos(2π－α) ?2?
＝－sin(α＋π)sin α＋cos αcos α ＝sinα＋cosα ＝1.
利用诱导公式证明恒等式 3π?π???2sin?θ－?cos?θ＋?－1
2?2???
[典例] 求证： 2
1－2sinπ＋θ＝
π＋θπ＋θ
＋1. －1
－1 2
2
?3π?－2sin?－θ?－sin θ?2?
[证明] 左边＝2
1－2sinθ
π????2sin?π＋?－θ??sin θ－1??2??
1－2sinθ
2
＝
?π?－2sin?－θ?sin θ－1?2?
＝ 2
1－2sinθ
＝＝
－2cos θsin θ－1
222
cosθ＋sinθ－2sinθθ＋cos θ22sinθ－cosθ
2
sin θ＋cos θ＝. sin θ－cos θ
tan θ＋1sin θ＋cos θ右边＝＝. tan θ－1sin θ－cos θ∴左边＝右边，故原式成立．
三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． [活学活用] π??cos?α－?2??2
求证：·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sinα.
?5π?sin?＋α??2?
?πcos?－α?2
证明：左边＝?πsin?＋α
?2
???
·[－sin(2π－α)]cos α＝ ???
sin αsin α2
[－(－sin α)]cos α＝·sin α·cos α＝sinα＝右边，故原式成立. cos αcos α
利用诱导公式求值 [
典
例
]
已
知
π－θ??3π??cos θ?sin?－θ?－1???2??
＝
5
8
，
求
π＋θ
π－θ
?π＋θ?－sin?3π＋θ?2??2???
?
??
的值．
π－θ－cos θ
[解] ∵＝??3π??cos θ－cos θ－cos θ?sin?－θ?－1?
??2??＝
15＝，
1＋cos θ8
3
∴cos θ＝.
5∴
π＋θ
＝
cos
π－θ
π3π?＋θ?－sin?＋θ??2??2?????
cos θ
－cos θcos θ＋cos θ
＝
115
＝＝.
1－cos θ32
1－5
用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少． π(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一2套公式必须变名． [活学活用] 1
已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)－sin(15°－α)的值．
3解：cos(105°－α)－sin(15°－α)
＝cos[180°－(75°＋α)]－sin[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) 2＝－. 3
层级一 学业水平达标
?π??π
1．若sin?＋θ?<0，且cos?－θ
?2??2
A．第一象限角 C．第三象限角
?>0，则θ是( )
??
B．第二象限角 D．第四象限角
?π??π?解析：选B 由于sin?＋θ?＝cos θ<0，cos?－θ?＝sin θ>0，所以角θ的终?2??2?
边落在第二象限，故选B.
1
2．已知sin θ＝，则cos(450°＋θ)的值是( )
51A． 526C．－
5
1B．－ 526D．
5
1
解析：选B cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－.
5
2017-2018学年高中数学三角函数1.3第二课时诱导公式(二)学案新人教A版
