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中考数学复习指导:运用网格正方形解题举例

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运用网格正方形解题举例

把正方形均匀地分成一个一个的小方格,从而形成“网格正方形”,同学们对于这种图形都很熟悉,在数学学习中,正方形网格能发挥很大的作用,现举例如下: 一、比较大小

例1 比较5+22+13与62的大小.

解析 如图1,由数字62想到可以构造出边长为6的正方形,并分成网格状.

由勾股定理找出线段

根据线段公理“两点之间,线段最短” AB+BC+CD>62, 即5+22+13>62.

点评,从数字的特征(含根号的无理数)联想到与这些数字相关的图形——直角三角形,这样来构造方网格,促使数向形转化. 二、设计方案

例 一块正方形草地,要在上面修建两条交叉的小路,使得两条小路将草地分成的四部分面积相等,你有多少种方法?

解析 一般同学都能想到过正方形的对称中心作两条互相垂直的直线.若借用网格正方形,把草地平分成16块均等的小正方形,再作面积等于4的图形,经过旋转或轴对称,便得到形状各异的符合题意的方案(图略). 点评 用方网格将面积数量化,从定量 的角度快速找出各种各样的方案,可有效防 止思维定势,从而拓展解题思路,如果借用更 密的网格就以得到更多的方案,大家再试试

1

看.

三、巧求面积

例3 已知△ABC的三边长分别为,5,10,17,求这个三角形的面积. 解析 解题的通法是作高,将三角形分成两个直角三角形,再运用勾股定理构造方程求解,但计算量大,由三角形的三边都是无理数,想到构造正方形网格,画出符合条件的三角形,用割补法解题能起到事半功倍的效果.

如图2,构造正方形网格,每个小正方形边长为1.由勾股定理,知

点评 由“数”建立网格正方形,再通过“形”简捷地解决问题,起到数形结合,互不可分的效果. 四、求值

例4 计算13+23+33+?+503的值.

解析 直接计算显然不可取,利用数形结合法——构造正方形网格,可使计算简捷 易行.如图3所示的正方形,左上方第一层小网格个数12=13,左上方第一、二层的小网格总个数为

点评 此处利用网格正方形形象而直观地计算出较为复杂的算式,体现了数与形之间的和谐统一.也印证了德国数学家希尔伯特的一句名言:“算术是写下来的图形,几何是

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画下来的公式”. 五、确定直线

例5 六个面上分别标有1、1、2、3、3、5六个数字的均匀立方体的表面展开图,如图5所示,掷这个立方体一次,记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标,朝下一面的数为该点的纵坐标.按照这样的规定,每掷一次该小立方体,就得到平面内一个点的坐标.已知小敏前两次掷得的两个点能确定一条直线L,且这条直线L经过点P(4,7),那么,他第三次掷得点也在直线L上的概率是( ).

(A)

解析 根据图4的表面展开图,想象出 立方体模型.易知相对的三组面的数字对应

为:表面展开图中左边的1与右边的1对应,由上向下第二个3与5对应,顶上的3与2对应.投掷立方体得到平面内点的坐标有6种可能:(1,1)、(1,1)、(3,5)、(5,3)、(3,2)、(2,3).再看这些点是否在某条直线上,找出直线L是解题的关键.

因为P(4,7)在直线L上,由“两点确定一条直线”,只须再找出另一点即可,建立如图5的网格,把六个点逐一描出,很直观地看出点(1,1)、(2,3)、(3,5)、(4,7)都在同一直线上,即这条直线为L,故第三次掷得的点在直线L上的概率P=

2 3(B)

1 2(C)

13(D)

1 642=,选A. 63

点评 此处借用网格正方形描点,可直观看出这些点是否在同一条直线上,避免了 繁琐的计算,为准确计算概率扫清了思维障碍. 六、妙求角度

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例6 已知α、β均为锐角,且tanα=

11,tanβ=,求α+β的度数. 23 解析 如果用初中的三角函数的知识来解决问题,比较困难.由锐角三角函数的定义,构造出∠α、∠β,放置在正方形网格中,并把这两个角集中在一处,找出全等三角形,问题得以解决.

如图6 的正方形网格中,每个小正方形边长都为1,若∠ABF=α,∠CBF=β,则tan α=

11,tanβ=,只需求∠4BC的度数即可. 23

点评 根据锐角三角函数的定义,结合网格正方形的特征,构造出∠α、∠β,利用三角形全等进行解题,显得别致而简洁.

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中考数学复习指导:运用网格正方形解题举例

运用网格正方形解题举例把正方形均匀地分成一个一个的小方格,从而形成“网格正方形”,同学们对于这种图形都很熟悉,在数学学习中,正方形网格能发挥很大的作用,现举例如下:一、比较大小例1比较5+22+13与62的大小.解析如图1,由数字62想到可以构造出边长为6的正方形,并分成网格状.由勾股定
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