本科毕业设计--求解热传导方程的高精度隐式差分格式

2.3 稳定性分析

定理： 本文差分格式 （2.2.4）是绝对稳定的；

引理1 假设?i(i?1,2,...,m?1)为矩阵A?1B的特征值，xi(i?12,...,m?1)为其相应的是特征值向量，则特征值为实数且满足 ?i?0 证明：

?5?6??1令A??12??????111256112112???21???1?2??B???

?????5??6?11???? ??2??下面来看AB的特征值则：

令ABX??iX??iAX?BX两边乘X 写成矩阵形式?xAx?xBx

TT?1?T521521152x1?x1x2?x2?x2x3??xn?1xn?xn612612126521252121252222?x1?(x1?x2)?x2?(x2?x3)??(xn?x)?xn ?1n624624246192929292192?x1?x2?x3??xn?xn?0?12412121224xAx?T22xBx??2x1?x1x2?2x2?x1x2?2??2x1?T2?x1x2?2xn12121222222(x1?x2)?2x2?(x2?x3)??(x2?x3)?2xn2225252222??x1?3x2?3x3??3xn?xn?1225252222??(x1?3x2?3x3??3xn?xn)?0?122

由此推出?s?0

下面来看un?1?2u的特征值：

1?1nI??AB2 11

I??A?1B

I?令 C???2A?1B

I?2A?1B写成矩阵形式： un?1?Cun

I??i2则C的特征值为：?c?un 1I???i2它的谱半径 ?(c)?max?c?1

1?i?n?I?因此un?1?

?2u是绝对稳定的。 1?1nI?AB2A?1B 12

3数值实验

数值例子1

给出下面的常系数一维扩散方程初边值问题

??u?2ut?00?x?1??t???x2??x0?x?1 ?u(x,0)?e?u(0,t)?et;u(1,t)?e1?tt?0???该方程的准确解为u(x,t)?ex?t

表一：h=0.1;tao=0.1;T=1，绝对误差比较 x 隐式格式 Crank-Nicolson格式 本文格式

8.1239E-03 2.7358E-04 1.3474E-04 0.1

1.4847E-02 5.0077E-04 2.4818E-04 0.2

2.0079E-02 6.7709E-04 3.3615E-04 0.3

2.3696E-02 7.9890E-04 3.9680E-04 0.4

2.5545E-02 8.6123E-04 4.2767E-04 0.5

2.5433E-02 8.5770E-04 4.2560E-04 0.6

2.3127E-02 7.8039E-04 3.8661E-04 0.7

1.8348E-02 6.1935E-04 3.0559E-04 0.8

1.0768E-02 3.6229E-04 1.7651E-04 0.9

2.5545E-02 8.6123E-04 4.2767E-04 最大误差

表二：当?=0.001 , T=1;时不同空间步长的收敛界的比较 隐式格式 Crank-Nicolson格式 本文格式

h 最大误差 收敛阶 最大误差 收敛阶 最大误差 收敛阶 1/4 2.9321e-003 2.6757e-003 8.3652e-006 1/8 9.3104e-004 1.6550 6.7288e-004 1.9915 4.8370e-007 4.1122 1/16 4.3004e-004 1.1144 1.6966e-004 2.0048 1.0174e-008 4.5712

表三:当h=0.005 ,w=1 T=1;是的不同空间步长的收敛界的比较 隐式格式 Crank-Nicolson格式 本文格式

? 最大误差 收敛阶 最大误差 收敛阶 最大误差 收敛阶 1/10 2.5355e-002 4.3558e-004 4.3448e-004 1/20 1.2863e-002 0.9790 1.0980e-004 1.9881 1.0871e-004 1.9988 1/40 6.4786e-003 0.9895 2.8270e-005 1.9575 2.7182e-005 1.9998

13

h=0.1;tao=0.1;T=1

h=0.1;tao=0.1;T=1

14

h=0.1;tao=0.1;T=1

数值例子2

给出下面的常系数一维扩散方程初边值问题

??u?2ut?00?x?1??t??x2?? ?u(x,0)?sin(?x)0?x?1?u(0,t)?u(1,t)?0t?0???该方程的准确解为u(x,t)?sin(?x)e??t

表一：h=0.1;tao=0.01;T=1，绝对误差比较

x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 最大误差

隐式格式 1.1195E-05 2.1294E-05 2.9308E-05 3.4454E-05 3.6227E-05 3.4454E-05 2.9308E-05 2.1294E-05 1.1195E-05 3.6227E-05

Crank-Nicolson格式

1.2118E-06 2.3050E-06 3.1726E-06 3.7296E-06 3.9215E-06 3.7296E-06 3.1726E-06 2.3050E-06 1.2118E-06 3.9215E-06

15

2本文格式

1.2133E-07 2.3079E-07 3.1765E-07 3.7343E-07 3.9264E-07 3.7343E-07 3.1765E-07 2.3079E-07 1.2133E-07 3.9264E-07