第4节 双曲线
【选题明细表】
知识点、方法 双曲线定义及应用 双曲线的标准方程及几何性质 双曲线的综合 基础巩固(建议用时:25分钟)
题号 5,8,9 1,2,3,6,11,12,13,14 4,7,10,15 1.已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a等于( D )
(A)2 (B) (C) (D)1
解析:因为双曲线的方程为-=1,所以e=1+
2
=4,因此a=1,a=1.选D.
2
2.下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( C )
(A)x-
2
=1 (B)-y=1
2
(C)-x=1 (D)y-
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=1
解析:A,B选项中双曲线的焦点在x轴上,C,D选项中双曲线的焦点在y轴上,又令-x=0,得
2
y=±2x,令y-
2
=0,得y=±x.故选C.
3.已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为( C )
(A)-=1 (B)-=1
(C)
-=1 (D)-=1
- 1 -
解析:因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e==,所以c=5,a=4,b=c-a=9,所以所
222
求双曲线方程为-=1,故选C.
4.(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆
+=1有公共焦点,则C的方程为( B )
(A)-=1 (B)-=1
(C)-=1 (D)-=1
解析:由双曲线的一条渐近线方程为y=x得4b=5a,
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椭圆+=1的焦点为(3,0),
所以c=3.
在双曲线中c=a+b,得a=4,b=5.
2
2
2
2
2
则C的方程为-=1.故选B.
5.已知双曲线-y=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2
2
,则
△PF1F2的面积为( A )
(A)1 (B) (C) (D)
解析:在双曲线|PF1|-|PF2|=2a=2
-y=1中,a=,又|PF1|+|PF2|=2
2
,b=1,c=2.不妨设P点在双曲线的右支上,则有,所以|PF1|=
+
, |PF2|=
-.又|F1F2|=2c=4,而
|PF1|+|PF2|=|F1F2|,所以PF1⊥PF2,所以
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=×|PF1|×|PF2|=×(+)×
- 2 -
(-)=1.故选A.
6.(2017·天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△
OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( D )
(A)-=1 (B)-=1
(C)-y=1 (D)x-
22
=1
解析:根据题意画出草图如图所示(不妨设点A在渐近线y=x上).
由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF=60°,c=|OF|=2.
又点A在双曲线的渐近线y=x上,
所以=tan 60°=
2
2
.
,
又a+b=4,所以a=1,b=
所以双曲线的方程为x-故选D.
2
=1.
7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线C的渐近线方程为
y=±2x,则双曲线C的方程为 . 解析:易得椭圆的焦点为(-,0),(
,0),
所以
所以a=1,b=4,
2
2
- 3 -
所以双曲线C的方程为x-
2
=1.
答案:x-
2
=1
8.已知点F1(-3,0)和F2(3,0),动点P到F1,F2的距离之差为4,则点P的轨迹方程为 . 解析:由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支,设其方程为
-=1(x>0,a>0,b>0),由题设知c=3,a=2,b=9-4=5.
2
所以点P的轨迹方程为-=1(x>0).
答案:-=1(x>0)
能力提升(建议用时:25分钟)
9.已知F1,F2为双曲线C:x-y=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|= 2|PF2|,则cos∠F1PF2等于( C )
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(A) (B)
2
2
(C) (D) ,c=2.
,
解析:由x-y=2,知a=b=
由双曲线定义,|PF1|-|PF2|=2a=2又|PF1|=2|PF2|, 所以|PF1|=4
,|PF2|=2
,
在△PF1F2中,|F1F2|=2c=4,由余弦定理,得
cos∠F1PF2==.故选C.
10.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以
C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( A )
(A)-=1 (B)-=1
- 4 -
(C)-=1 (D)-=1
解析:由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y=x,因此可得点A的坐标为(a,b).设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)+b=16,所以有
2
2
(c-a)+b=c,又c=a+b,则c=2a,即a==2,所以b=c-a=4-2=12.故双曲线的方程为故选A.
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-=1,
11.(2018·吉林百校联盟联考)已知双曲线C:-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点
F1且与双曲线C的一条渐近线垂直的直线l与C的两条渐近线分别交于M,N两点,若|NF1|=2|MF1|,则双曲线C的渐近线方程为 .
解析:不妨设l与渐近线y=x垂直,
则直线l:y=-(x+c),
由得M(-,-),
由得N(-,),
因为|NF1|=2|MF1|, 所以M为NF1的中点,
所以
2
2
=-2
.即c=-2(a-b).
2
222
所以a+b=-2a+2b.
所以=.
x.
故双曲线的渐近线方程为y=±
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2020版高考数学总复习第八篇平面解析几何必修2选修2_1第4节双曲线应用能力提升理含解析
