1.6 基本不等式及其应用
1．函数f (x)＝x2＋4
|x|
的最小值为( )
A．3B．4C．6D．8 答案 B
解析 f (x)＝x2＋44
|x|＝|x|＋|x|
≥24＝4，
当且仅当x＝±2时，等号成立，故选B.
2．若x>0，y>0，则“x＋2y＝22xy”的一个充分不必要条件是( ) A．x＝y B．x＝2y C．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1
答案 C
解析 ∵x>0，y>0，
∴x＋2y≥22xy，当且仅当x＝2y时取等号．
故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝22xy”的充分不必要条件．故选C.
3．(2024·广州期末)若实数x，y满足xy＋6x＝4??2?0 解析 实数x，y满足xy＋6x＝4??2?0 ∴x＝ 4y＋6∈???0，2?3?? ，y>0， 则4x＋1y＝y＋6＋1 y≥2＋6＝8， 当且仅当y＝1，x＝4 7时取等号． ∴41 x＋y的最小值为8. 4．若a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为( ) A．8B．6C．4D．2 ) - 1 - 答案 C 11 解析 由lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以aabba?11?＋b＝?＋?(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ab?? abba·＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋bab的最小值为4，故选C. 5．已知函数f (x)＝e在点(0，f (0))处的切线为l，动点(a，b)在直线l上，则2＋2的最小值是( ) A．4B．2C．22D.2 答案 D 解析 由题意得f′(x)＝e， xxa－bf (0)＝e0＝1， k＝f′(0)＝e0＝1. ∴切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0， ∴a－b＋1＝0，∴a－b＝－1， ∴2＋2≥22·2＝22 a－ba－ba－b＝22＝2 －1 ?当且仅当a＝－1，b＝1时取等号?，故选D. ??22?? 6.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a， BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( ) A. a＋b2 2 ≥ab(a>0，b>0) 2 B．a＋b≥2ab(a>0，b>0) C.D. 2ab≤ab(a>0，b>0) a＋ba＋b2 ≤a2＋b22 (a>0，b>0) 答案 D - 2 - a＋b解析 由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝2 ， 又OC＝OB－BC＝ a＋ba－b2 －b＝ 2 ， 则FC2 ＝OC2 ＋OF＝?a－b?2 ?a＋b?2 a2 ＋b2 2 4＋4＝2， 22再根据题图知FO≤FC，即 a＋b＋b2 ≤a2 ，当且仅当a＝b时取等号．故选D. 7．(多选)若x≥y，则下列不等式中正确的是( ) A．2x≥2y B. x＋y2 ≥xy C．x2 ≥y2 D．x2 ＋y2 ≥2xy 答案 AD 解析 由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有2x≥2y，故A正确； 当0>x≥y时， x＋y2 ≥xy不成立，故B错误； 当0≥x≥y时，x2 ≥y2 不成立，故C错误； x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0成立，即x2＋y2≥2xy成立，故D正确． 8．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是( ) A．a＋b＋ 1 ab≥22 B. 2aba＋b≥ab a2＋b2C.ab≥a＋b D．(a＋b)??1?a＋1b??? ≥4 答案 ACD 解析 ∵a＞0，b＞0， ∴a＋b＋ 1 ab≥2ab＋ 1 ab≥22， 当且仅当a＝b且2ab＝1 b＝2 ab，即a＝2 时取等号， 故A成立； ∵a＋b≥2ab＞0， ∴2aba＋b≤2ab2ab＝ab，当且仅当a＝b时取等号， ∴2aba＋b≥ab不一定成立，故B不成立； ∵ 2aba＋b≤2ab2ab＝ab，当且仅当a＝b时取等号， - 3 - a2＋b2?a＋b?2－2ab2ab＝＝a＋b－≥2ab－ab＝ab， a＋ba＋ba＋b当且仅当a＝b时取等号， a2＋b2a2＋b2∴≥ab，∴≥a＋b，故C一定成立； a＋babba?11?∵(a＋b)?＋?＝2＋＋≥4， ?ab? ab当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立． x2＋29．函数y＝(x>1)的最小值为________． x－1 答案 23＋2 解析 ∵x>1，∴x－1>0， x2＋2?x2－2x＋1?＋?2x－2?＋3∴y＝＝ x－1x－1 ?x－1?＋2?x－1?＋3＝ x－1＝(x－1)＋ 3 ＋2≥23＋2. x－1 3 ，即x＝3＋1时，等号成立． x－1 9 2 当且仅当x－1＝ 10．(2024·海南质检)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S7－S5＝3(a4＋a5)，则4a3＋的最小值为________． 答案 4 解析 设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)， ∵S7－S5＝a7＋a6＝3(a4＋a5)， ∴ a7 a7＋a62 ＝q＝3. a5＋a4 a7 a3qa3 1 4a3·＝4， 991 ∴4a3＋＝4a3＋4＝4a3＋≥2a3 119 当且仅当4a3＝，即a3＝，a7＝时等号成立． a3229 ∴4a3＋的最小值为4. a7 11．已知正数a，b满足a＋b＝2，求解 14＋的最小值． a＋1b＋1 14?1＋4?·?a＋1?＋?b＋1? ＋＝??a＋1b＋1?a＋1b＋1?4 b＋14?a＋1??1?＋＝?1＋4＋ a＋1b＋1?4?? - 4 - ≥1?b＋14?a＋1?? 4??5＋2a＋1·b＋1?? ＝94. 当且仅当b＋1a＋1＝4?a＋1?b＋1，即a＝15 3，b＝3 时取等号． 所以 1a＋1＋4b＋1的最小值为94 . 12．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. (1)求u＝lgx＋lgy的最大值； (2)求11 x＋y的最小值． 解 (1)∵x>0，y>0， ∴由基本不等式，得2x＋5y≥210xy. ∵2x＋5y＝20，∴210xy≤20，xy≤10， 当且仅当2x＝5y时，等号成立． 因此有??? 2x＋5y＝20，?解得?? x＝5， ?2x＝5y， ???y＝2， 此时xy有最大值10. ∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1. ∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1. (2)∵x>0，y>0， ∴11x＋y＝??11?x＋y??2x＋5y1?·?5y2x?20＝20??7＋x＋y?? ≥1? ?75y20? ＋2 x·2x?y?? ＝ 7＋210 20， ?2x＋5y＝20， 由? ? ?5y?x＝2xy， ?解得?x＝1010－20 ? 3，??y＝20－4103 . 当且仅当x＝1010－2024－410 3，y＝3时，等号成立．∴117＋210 x＋y的最小值为20 . 13．(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则( ) - 5 -
(江苏专用)2024新高考数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语和不等式1.6基本不等式及其应用练习
