△AHG（SAS），推出EH＝GH，推出B′D′＝2，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵四边形AB′C′D′是菱形， ∴AB′＝B′C′＝C′D′＝AD′， ∵∠B′AD′＝∠B′C′D′＝60°， ∴△AB′D′，△B′C′D′是等边三角形， ∵MN∥B′C′，
∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝60°，∠CNM＝∠C′D′B′＝60°， ∴△C′MN是等边三角形， ∴C′M＝C′N， ∴MB′＝ND′，
∵∠AB′M＝∠AD′N＝120°，AB′＝AD′， ∴△AB′M≌△AD′N（SAS）， ∴∠B′AM＝∠D′AN， ∵∠CAD＝∠BAD＝30°， ∠DAD′＝15°， ∴α＝15°．
（2）∵∠C′B′D′＝60°， ∴∠EB′G＝120°， ∵∠EAG＝60°，
∴∠EAG+∠EB′G＝180°， ∴四边形EAGB′四点共圆， ∴∠AEB′＝∠AGD′，
∵∠EAB′＝∠GAD′，AB′＝AD′， ∴△AEB′≌△AGD′（AAS）， ∴EB′＝GD′，AE＝AG， ∵AH＝AH，∠HAE＝∠HAG， ∴△AHE≌△AHG（SAS）， ∴EH＝GH，
∵△EHB′的周长为2，
∴EH+EB′+HB′＝B′H+HG+GD′＝B′D′＝2， ∴AB′＝AB＝2， ∴菱形ABCD的周长为8．
【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（13分）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点． （1）求圆心M的坐标；
（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式； （3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝4的坐标．
时，求点P
【分析】（1）利用中点公式即可求解；
（2）设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO＝sinα＝
，cosα＝
，AC＝
，则CD＝
＝＝tanα，则
＝10，即可求解；
，求出PE＝5，即可求解．
（3）利用cos∠PEH＝
【解答】解：（1）点B（0，4），则点C（0，2）， ∵点A（4，0），则点M（2，1）；
（2）∵⊙P与直线AD，则∠CAD＝90°， 设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α， tan∠CAO＝AC＝
＝＝tanα，则sinα＝
，cosα＝＝10，
，
，则CD＝
则点D（0，﹣8），
将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得： 直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；
（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1， 将点B坐标代入上式并解得：a＝， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x+4， 过点P作PH⊥EF，则EH＝EF＝2
，
cos∠PEH＝解得：PE＝5，
设点P（x，x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8）， 则PE＝x2﹣3x+4﹣2x+8＝5， 解得x＝
或2（舍去2），
，
则点P（，）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2019年山东省潍坊市中考数学试卷(解析版)
