统计量及其分布在实践中的应用
数学科学学院 数学与应用数学
摘要：在实际生活中，有许多零散的数据，为了把这些零散的集中起来反映总体
的特征，取得样本之后，并不是直接利用样本进行推断，而是需要对样本进行一番加工和提炼，把样本中所包含的有关信息尽可能地集中起来，而有效的办法就是运用假设检验，来判断总体分布是否具有指定的特征.基于以上本文就解决这些实际问题，列举出了一些具体的统计量，用统计量收集和利用数据资料，对数据进行分析(统计分析)从而对所研究的问题作出推断，预测和决策，进行阐述和研究并得出科学合理的结论.
关键词：统计量；样本均差；假设检验；质量管理
引言
随着社会经济的迅猛发展，随着数学在经济活动和经济研究中的作用日益凸显，随着数学的理论和方法越来越广泛的运用到自然科学，社会科学和工程技术等各领域，它不仅提供了解决问题的有力教学工具，同时还给学生提供了一种思维应用型人才所必须具备的文化素质和修养. 同时市场的不断完善，假设检验理论在质量管理中的重要性与日俱增，作为一种由样本信息推断总体特征的数理统计方法，在生产的各个方面都得到了广泛的应用.本文从实际出发，不仅简单介绍了统计量的相关知识，而且详细阐述了假设检验中检验
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统计量的构造，具体的实施步骤，以及在应用中需要注意的问题，同时将假设检验应用到实际的产品质量控制当中，对相关产品的质量做出合理的结论，为管理者进行改进产品质量的决策提供一定的依据. 1 介绍样本均值，样本方差，样本标准差在生活中的应用 1.1 统计量与抽样分布
样本来自总体，含有总体各方面的信息，但这些信息较为分散，有时不能直接利用.为将这些分散的信息集中起来以反映总体的各种特征，需要对样本进行加工，最常用的加工方法是构造样本的函数，为此：
定义5.3.1 设x1,x2,?,xn为取自某总体的样本，若样本函数T?T(x1,?,xn)中不含有任何未知参数，则称T为统计量.统计量的分布为抽样分布.
按上述定义：设x1,x2,?,xn为样本，则?xi,?xi2都是统计量，当?,?2未知时，
i?1i?1nnx1??,x1?等都不是统计量.
注 统计量不依赖于未知参数，但其分布一般是依赖于未知参数的. 1.2 常用的统计量
1.2.1 样本均值、样本方差、样本k阶矩及k阶中心矩
1n定义 设x1,x2,?,xn是来自某总体的样本，称x??xi 为样本均值，
ni?1S*21n1n**222??(xi?x) 为样本方差，S?S为样本标准差，S?(xi?x)2 ?ni?1n?1i?121nk为样本（无偏）方差， S?S 为样本（无偏）标准差. ak??xi为样本k阶
ni?11n（原点）矩，bk??(xi?x)k为样本k阶中心矩.
ni?1n21n122(x?x)[x?nx] 注（1）S?=?i?in?1i?1n?1i?12 （2）在分组样本场合下，若xi为第i组的组中值，fi为该i组的个数，k为组数，则
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kx1f1???xkfk,其中n??fi x?ni?121k1k22f(x?x) S?=[fx?nx] ?ii?iin?1i?1n?1i?121.2.2 次序统计量
定义5.3.7设x1,x2,?,xn是取自总体X的样本，将其从小到大排序得到
x(1)?x(2)?不论x1,x2,?,xn取怎样的一组观测值，X(i) 总取x(i)?x(n).定义X(i)：
为其观测值，称X(i)为第i个次序统计量，从而有X(1)?X(2)??X(n).
X1?min?Xi?，X(n)?max?Xi?分别称为样本的最小、最大次序统计量.
1?i?n1?i?n注 样本x1,x2,?,xn独立同总体分布，但X(1),X(2),?,X(n)既不独立又不同分布.
1.3 统计量X与S2的性质
定理5.3.1 ?(xi?x)?0.
i?1n定理5.3.2 数据观察值与均值的偏差平方和最小，即在形如?(xi?c)2的函数
i?1n中，?(xi?x)2最小，其中c为任意给定常数.
i?1n定理5.3.3 设x1,x2,?,xn是来自某个总体的样本，x为样本均值.
11) 若总体分布为N(?,?2)，则x的精确分布为N(?,?2).
n2) 若总体分布未知或不是正态分布，但EX??,VarX??2，则n较大时的渐
.121近分布为N(?,?)，记为x~N(?,?2).
nn定理5.3.4 设总体X具有二阶矩，即EX??,VarX??2
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统计量及其分布在实践中的应用
