分式的混合运算法则是解题的关键．
22．（10分）在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（m，﹣2）． （1）求△AHO的周长；
（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．
【分析】（1）根据正切函数，可得AH的长，根据勾股定理，可得AO的长，根据三角形的周长，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式． 【解答】解：（1）由OH=3，tan∠AOH=，得 AH=4．即A（﹣4，3）． 由勾股定理，得 AO=
=5，
△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12； （2）将A点坐标代入y=（k≠0），得 k=﹣4×3=﹣12，
反比例函数的解析式为y=当y=﹣2时，﹣2=
；
，解得x=6，即B（6，﹣2）．
将A、B点坐标代入y=ax+b，得
，
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解得，
一次函数的解析式为y=﹣x+1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法是解题关键．
23．（10分）近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格． （1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？
（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了
a%，求a的值．
【分析】（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可；
（2）设5月20日两种猪肉总销量为1；根据题意列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元； 根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100， 解得：x≥25．
答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元； （2）设5月20日两种猪肉总销量为1；
根据题意得：40（1﹣a%）×（1+a%）+40×（1+a%）=40（1+
a%），
y），
令a%=y，原方程化为：40（1﹣y）×（1+y）+40×（1+y）=40（1+整理得：5y2﹣y=0，
解得：y=0.2，或y=0（舍去），
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则a%=0.2， ∴a=20；
答：a的值为20．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用；根据题意列出不等式和方程是解决问题的关键．
24．（10分）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值． 【分析】（1）根据题意可设m=n2，由最佳分解定义可得F（m）==1； （2）根据“吉祥数”定义知（10y+x）﹣（10x+y）=18，即y=x+2，结合x的范围可得2位数的“吉祥数”，求出每个“吉祥数”的F（t），比较后可得最大值． 【解答】解：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数）， ∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；
（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x， ∵t为“吉祥数”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18， ∴y=x+2，
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∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79， ∴F（13）==
，F（24）==，F（35）=，F（46）=
， ＞
＞
，
，F（57）=
，F（68）
，F（79）=
＞
∵＞＞
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．
【点评】本题主要考查实数的运算，理解最佳分解、“吉祥数”的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
五、解答题（本题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
25．（12分）在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF． （1）若AB=2
，求BC的长；
（2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD=CG； （3）如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出
的值．
【分析】（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H，分别在RT△ABH，RT△AHC中求出BH、HC即可．
（2）如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG，由△ABD≌△APG推出BD=PG，再利用30度角性质即可解决问题．
（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP=PC，作DK⊥AB于K，设BK=DK=a，则AK=
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a，AD=2a，只要证明∠BAD=30°
即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H． ∴∠AHB=∠AHC=90°， 在RT△AHB中，∵AB=2∴BH=AB?cosB=2AH=AB?sinB=2，
在RT△AHC中，∵∠C=30°， ∴AC=2AH=4，CH=AC?cosC=2∴BC=BH+CH=2+2
．
，
×
，∠B=45°， =2，
（2）证明：如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG， ∵AG⊥AD，∴∠DAF=∠EAC=90°， 在△DAF和△GAE中，
，
∴△DAF≌△GAE， ∴AD=AG，
∴∠BAP=90°=∠DAG， ∴∠BAD=∠PAG， ∵∠B=∠APB=45°， ∴AB=AP，
在△ABD和△APG中，
，
∴△ABD≌△APG，
∴BD=PG，∠B=∠APG=45°， ∴∠GPB=∠GPC=90°， ∵∠C=30°， ∴PG=GC， ∴BD=CG．
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2016年重庆市中考数学试卷（a卷）（含答案解析）
