2021版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第6讲 对数函数高效演练分层突破 文 新人教A版

第6讲 对数函数

[基础题组练]

1．函数y＝log3（2x－1）＋1的定义域是( ) A．[1，2]

B．[1，2)

?2?C.?，＋∞? ?3??2?D.?，＋∞?

?3?

??log3（2x－1）＋1≥0，

解析：选C.由?即

??2x－1>0，

1

log（2x－1）≥log，??32

解得x≥.故选C. ?13

??x>2，3

3

2．若函数y＝f(x)是函数y＝a(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( ) A．log2x C．log1x

2

1B.x 2D．2

x－2

x

解析：选A.由题意知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，因为f(2)＝1，所以loga2＝1，所以

a＝2.所以f(x)＝log2x.故选A.

28

3．(2020·东北三省四市一模)若a＝log2，b＝0.4，c＝ln 2，则a，b，c的大小关

5系是( )

A．a

B．a

21188

解析：选B.a＝log20，所以0

52211

ln 2＝ln4>lne＝，即c>，所以a

22

4．设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )

A．f(a＋1)>f(2) C．f(a＋1)＝f(2)

B．f(a＋1)

解析：选A.由已知得0

f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(2)．

1

5．(2020·河南平顶山模拟)函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0，a≠1)，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，则( )

A．f(x)在(－∞，0)上是减函数 B．f(x)在(－∞，－1)上是减函数 C．f(x)在(0，＋∞)上是增函数 D．f(x)在(－∞，－1)上是增函数

解析：选D.由题意，函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0且a≠1)，则说明函数f(x)关于直线

x＝－1对称，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，即|x＋1|∈(0，1)，f(x)>0，则0

可知，f(x)在(－∞，－1)上是增函数，选D.

6．已知函数y＝loga(x－1)(a>0，a≠1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)＝2＋b的图象上，则f(log23)＝ ．

解析：由题意得A(2，0)，因此f(2)＝4＋b＝0，b＝－4，从而f(log23)＝3－4＝－1. 答案：－1

7．若函数f(x)＝logax(0

解析：因为0

＝loga2a，所以1＝3loga2a?a＝(2a)?8a＝1?a＝

3

2

x2

. 4

答案：

2 4

8．已知函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是 ． 解析：由于a>0，且a≠1， 所以u＝ax－3为增函数，

所以若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数， 所以a>1.

又u＝ax－3在[1，3]上恒为正， 所以a－3>0，即a>3. 答案：(3，＋∞) 9．已知函数f(x－3)＝loga(1)求f(x)的解析式；

(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．

3＋u解：(1)令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝loga(a>0，a≠1，－3

3－u

2

(a>0，a≠1)． 6－xx3＋x所以f(x)＝loga(a>0，a≠1，－3

3－x3－x3＋x(2)因为f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0，

3＋x3－x所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3，3)关于原点对称． 所以f(x)是奇函数．

10．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0且a≠1)，且f(1)＝2. (1)求实数a的值及f(x)的定义域；

?3?(2)求f(x)在区间?0，?上的最大值．

?2?

解：(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.

??1＋x>0，由?得－10，?

所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)＋4]， 所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，

2

?3?故函数f(x)在?0，?上的最大值是f(1)＝log24＝2.

?2?

[综合题组练]

1．(2020·河南新乡二模)已知函数f(x)＝log3(9＋1)＋mx是偶函数，则不等式f(x)＋4x

A．(0，＋∞) C．(－∞，0)

xxB．(1，＋∞) D．(－∞，1)

－x解析：选C.由f(x)＝log3(9＋1)＋mx是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即log3(9＋1)＋m(－x)＝log3(9＋1)＋mx，变形可得m＝－1，

即f(x)＝log3(9＋1)－x，设g(x)＝f(x)＋4x＝log3(9＋1)＋3x，易得g(x)在R上为增函数，且g(0)＝log3(9＋1)＝log32，则f(x)＋4x

2．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a

解析：由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以|lg a|＝|lg b|，又因为y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，且a

0

xxx 3

答案：(0，1)

??3．已知函数f(x)＝lg?x＋－2?，其中x>0，a>0.

x?

?

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．

aax2－2x＋a解：(1)由x＋－2>0，得>0.

xx因为x>0，所以x－2x＋a>0. 当a>1时，定义域为(0，＋∞)；

当a＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；

当00， 即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立， 即a>－x＋3x对x∈[2，＋∞)恒成立，

记h(x)＝－x＋3x，x∈[2，＋∞)，则只需a>h(x)max.

2

2

2

ax?3?9

而h(x)＝－x＋3x＝－?x－?＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，故

?2?4

2

2

a>2.

4

5