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6（2018·河北衡水中学高考模拟（理））定义在R上的可导函数f?x?满足
3??3??2xf?1??1， 且2f'?x??1， 的f(2cosx)?2sin?当x???,时，则不等式?2222??解集为( )
A．???4?,33??? ? B．????4??,? 33?????C．?0,?
?3?D．??????,? 33??【答案】D
【解析】构造函数g?x??f?x??11x?，可得g?x?在定义域内R上是增函数，且22x3g?1??0，进而根据f(2cosx)?2sin2??0转化成g(2cosx)?g?1?，进而可求得
22答案 【详解】 令g(x)?f(x)?111x?，则g'(x)?f'(x)??0， 22211??0， 22?g(x)在定义域R上是增函数，且g(1)?f(1)??g(2cosx)?f(2cosx)?cosx??f(2cosx)?2sin21x3=f(2cosx)?2sin2?， 222x3??0可转化成g(2cosx)?g?1?，得到 22??3??????2cosx?1，又Qx???,?，可以得到?x???,?故选D
?33??22?【名师点睛】本题考查利用函数的单调性求取值范围，此类题目应学会构造新的函数，利用新的函数去解决问题，此外此类题目最快捷的方法是特殊值与排除法相结合即可快速得到答案，特殊值首选应该选择当x=0时，结果满足条件，故排除A，C，然后观察B,D选项，带入特殊值x=π不满足条件.故选择D. 3高频必考·攻克高考
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二、填空题
27．（2018·河北衡水中学高考模拟（理））若两曲线y?x?1与y?alnx?1存在公切线，
则正实数a的取值范围是__________． 【答案】(0,2e]
【解析】设两个切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),两个切线方程分别为
y?(x?1)?2x1(x?x1),y?(alnx2?1)?21a(x?x2),化简得x2y?2x1x?1?x12,y?ax?alnx2?a?1两条切线为同一条.可得x2?2, ,a??4x2(lnx2?1),令g(x)?4x2?4x2lnx(x?0)，??alnx?a??x221g?(x)?4x(1?2lnx)，所以g(x)在(0,e)递增，(e,??)递减，
2x1?ax2g(x)max?g(e)?2e.所以a??0,2e?，填?0,2e?.
8（2019·临沂第十九中学高考模拟（理））设函数f?x??3sin2点x0满足x02???f?x0????m，则m的取值范围是（ ）
2?xm．若存在f?x?的极值
A．???,?6???6,?? B．???,?4???4,?? C．???,?2???2,?? D．???,?1???1,?? 【答案】C 【解析】
0?f(x)??3cos?0， ?由题意知：f?x?的极值为?3，所以?，因为fx?3??00??mm2??x高频必考·攻克高考
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x011mx01?k??，所以x0??k??,k?z，所以?k?,k?z即所以，m222m2m2?x0?2m2m23m2222即x0?[f(x0)]?而已知x0??所以m?故f?x0???m，?3，?3，?3，??44422解得m?2或m??2，故选C.
考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力.
9．（2019·天津高考模拟（理））已知函数f?x??e?x1????2cos?x??，其中e为自然对xe?2?数的底数，若f2a?2??f?a?3??f?0??0，则实数a的取值范围为___________.
【答案】?【解析】
3?a?1 2【思路分析】
利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用导数结合不等式与三角函数的有界性判断函数的单调性，再将原不等式转化为2a2?3?a求解即可. 【详解】
Qf?x??ex?11???x?2cos?x?e??2sinx， ??xxee?2?1?x1???e??2sinx?f??x??e??x?2sin??x?????f?x?， xee???x?f?x?是奇函数，且f?0??0，
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又Qf'?x??e?x1?2cosx， exex?1?2,2cosx?2，?f'?x??0， xe?f?x?在???，+??上递增， ?f?2a2??f?a?3??f?0??0，
化为f2a?2???f?a?3??f?3?a?，
33?a?1，故答案为??a?1.
22?2a2?3?a??【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查了奇偶性的应用、单调性的应用，属于难题. 解决抽象不等式f?a??f?b?时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数f?x?的单调性．若函数f?x?为增函数，则a?b；若函数
f?x?为减函数，则a?b．
x2?1x10．（2019·安徽高考模拟）设函数f(x)?,g(x)?x，对任意x1,x2??0,???，不
xe等式
g?x1?f?x2?恒成立，则正数k的取值范围是_______. ?kk?11 2e?1【答案】k?【解析】对任意x1,x2??0,???，不等式
g?x1?f?x2?恒成立，则等价为?kk?1g?x1?2k1x?111?恒成立，f?x??当且仅当x?，即 x?1?x??2x??2，
f?x2?k?1xxxxex?xex1?xx?x，由2时取等号，即f?x?的最小值是2，由g?x??x，则g'?x??xee?e?g'?x??0得0?x?1，此时函数g?x?为增函数，由g'?x??0得x?1，此时函数g?x?高频必考·攻克高考
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g?x1?1gx为减函数，即当x?1时，??取得极大值同时也是最大值g?1??，则的最大
f?x2?e11k11，则由?值为e，得2ek?k?1，即k?2e?1??1，则k?，故答?k?12e2e?122e1. 案为k?2e?1
三、解答题
11．（2019·浙江高考模拟）已知函数f?x??x?（1）若f?x??x?1?lnx . x1?lnx在x?x1,x2?x1?x2? 处导数相等，证明：xf?x1??f?x2??3?2ln2 ；
（2）若对于任意k????,1? ，直线y?kx?b 与曲线y?f?x?都有唯一公共点，求实数b的取值范围.
【答案】（I）见解析（II）b??ln2 【思路分析】
（1）由题x＞0，f??x??1?11?，由f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，得到2xx?11?x2?x?1?m?0?11f??x1??f??x2??m，得?，
11???1?m?02?xx2?211?1，由基本不等式得x1?x2?x1?x2?2x1x2，得x1?x2?4，由由韦达定理得?x1x2题意得f?x1??f?x2??x1x2?ln?x1x2??1，令t?x1?x2?4,则
x1x2?ln?x1x2??1?t?lnt?1，令g?t??t?lnt?1?t?4?，，利用导数性质能证明g?t??g?4??3?2ln2．
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2020年高考理科数学热点04 导数及其应用（教师版）
