第十二章 数项级数
选择题
1．若正项级数收敛，则下面级数一定收敛的是（ ）； (A) (B) (C) (D)
2．下列级数中是条件收敛的级数有（ )； (A) (B) (C) (D) 3． 级数 条件收敛;等价于( )
(A) 收敛 (B) 发散 (C) 收敛且 发散 (D)收敛
4． 正项级数收敛是级数收敛的( )
(A)充分条件 (B) 必要条件 (C) 充要条件 (D) 上述均不对
5． 设常数k>0, 则级数
(A) 发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛或发散
6． 设正项级数收敛, 则级数.
(A) 是条件收敛的 (B) 是绝对收敛的
(C )可能收敛也可能发散 (D) 上述均不对 7．设常数k>0 ,则级数( )
(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛或发散与k的取值有关 8．已知级数 与 都发散,则( )
(A) 必发散 (B)必发散 (C) 必发散 (D)必发散 9．下面级数绝对收敛的是( )
(A) (B) (C) (D)
10．F(p)= , F的定义域为( )
(A) [0,1] (B) (0,1] (C) (0,1) (D) (1,)
11．下面级数收敛的是( )
?3nn!(A) ?n (B) (C) (D)?(na?1) (a>1)
n?1n?1n?填空题 1．设级数
?(1?un?1?n)收敛，则= ( )；
2．级数,当p= ______________时条件收敛.
3．.级数满足莱布尼兹判别法的两个条件,__________
_________________则它是收敛的. 4．.若 ,则级数
?un?1?n__________ ,若 则
级数_____________
5． 级数之和为________________ 6． 若 收敛 则x=____________
7．设>0则数列与级数?an的关系是___________________
n?1?计算题
1．已知级数an =2,,求 2．判别级数 的敛散性. 3．求级数 的和 4．求级数的和 证明题
1．设an?0,{an}单调减少趋于零，证明级数?(?1)n?1?n?1an?an?1收敛（8分）
2．用级数知识证明当, 是比高阶的无穷小 . （10分） 3．设an > 0 , 证明级数是收敛的.(8分)
4．设an >0, an>an+1 (n=1,2,…)且 证明级数 收敛. （10分）
5．若级数?an 与?cn都收敛且an?bn?cn (n=1,2,…) 则?bn也收敛. (8分)
n?1n?1n?1???
选择题答案
1．C 2． B 3． C 4． A 5． C 6．B
7．C 8． C 9． C 10．.D 11．B 填空题答案
1． 1 2． p= -1 3．.ln(1+x) ,ln 4．发散, 绝对收敛 5． 6． x>1, 7. 同敛散。 计算题答案
1．解： 由于 (得2分) = 因此
??a?5?2?3 (得5分)
k?12k (得6分)
2．解：由于<= n=1、2 、…… (得3分)
而几何级数收敛，根据比较判别法原级数收效。 (得6分) 3．解： (x?0) (得2分)
1232n?1n?2ex?1xex?ex?1?x?x???x???()?? (得4分) 22!3!4!n!xx 取 x=1 得 (得8分) 4．解：
1?1?x?x2???xn??1?xx?(?1,1) (得2分)
x?(-1,1) (得4分)
(得8分) 证明题答案
1．?an?0,且{an}单调减小?anan?1也单调减小 (得3分) 又?0?anan?1?an?an?1a?an?1且limn?0 n??22?limanan?1?0 (得6分)
n??由莱布尼兹判别法知 ?(?1)n?1?n?1anan?1收敛 (得8分)
2．证:设级数
= (得5分) (得7分) 即
故当时, 是比高阶的无穷小 (得10分) 3．证: (得4分)
(得6分)
又 (得8分) ? 原级数收敛
4．令bn= (得2分) (得4分)
(n?1)(a1?a2??an)?n(a1??an)?nan?1?n(a1??an?an?1)
(得8分)
由交错级数收敛判别法 (得10分)
5．证明 (得2分)
(得4分)
由正项级数比较判别法 (得6分) (得8分)
第十二章数项级数二
