?y ? 245? 4y 3 2 4 1 O 1 4 x 2 3 图 4-7 图 4-6 O x 3? 2
解法三：取?=1200，1200?3600?
评注 对于
?2?600,2400，即
?是第一、三象限角. 2?2是第几象限角的问题，做选填题以记住图示最为便捷，解法三是一种只要答案的特值方法；
解法一能准确找出对于
?的分布. 2??是第几象限角可使用象限分布图示的规律，如图4-8所示，那么对于“是第几象限角”的象限分3n布图示规律是什么？只需要把第一个象限平均分成n部分，并从x轴正向起，逆时针依次标注1，2，3，4，
?1，2，3，4，1，2，3，4…..，则数字（?终边所在象限）所在象限即为终边所在象限.
n??例如：的象限分布图示如图4-8所示，若?为第一象限角，则为第一、二、三象限角.
33
变式1 若?是第二象限角，则
?3是第 象限角；若?是第二象限角，则
?的取值范围是 3题型3 弧长与扇形面积公式的计算 思路提示
11
（1） 熟记弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2（弧度制??(0,2?]）
22（2） 掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法
例4.5 有一周长为4的扇形，求该扇形面积的最大值和相应圆心角的大小. 解析：设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为?（弧度），扇形面积S.
?r?01111?依题意?l?0，S?lr，则S?lr?(4?2r)r?(4?2r)2r
2224?2r?l?4?14?2r?2r2（当且仅当4?2r?2r时，即r?1时取“=”，此时l?2）故扇形的面积最大值为?()?1，
42l1，此时??=2（弧度）.
r111?l?2r?评注本题亦可解作S?lr?l?2r????1，当且仅当l?2r?2，即l?2，
244?2?l
r?1时“=”成立，此时??=2.本题可改为扇形面积为1，求周长的最小值，
r1C?l?2r?22lr,且lr?1得lr?2，故C?4（当且仅当l?2r?2时“=”成立），扇形周长的最小值
2为4.
2AB=（） 变式1 扇形OAB的圆心角?OAB=1（弧度），则?A. sin11?1 B. C. D. 2sin
1226sin2变式2 扇形OAB，其圆心角?OAB=1200，其面积与其内切圆面积之比为 题型4 三角函数定义题 思路提示
（1） 任意角的正弦、余弦、正切的定义； （2） 诱导公式；
（3） 理解并掌握同角三角函数基本关系.
例4.6 角?终边上一点P(2sin5,?2cos5)，??(0,2?)，则?=（ ） A. 5??2 B. 3??5 C. 5 D.5+
? 2解析 解法一：排队法. 5?5?57.30?286.50，是第四象限角，x?2sin5?0，y??2cos5?0，
r?x2?y2?2，?是第三象限角.
?是第一象限角，故排除C、D；选项B中， 2xcos??cos?3??5???cos5，与cos???sin5矛盾，排除B，故选A.
r3??解法二：推演法.由解法一，5???,??????，?,???(0,)（这样设的
223?原因是cos??sin5），cos??cos(????)=?cos??，sin5?sin(??)??cos?
2?3?， ??cos????cos??cos???cos?，?,???(0,)??????5?22选项C中，5是第四象限角，选项D中，5+
3????????5?2?????5?故选A.
2?变式1 已知角?终边上一点P(2sin2,?2cos2)，??(0,2?)，则?=（ ）
?? D. ?2 222?2?变式2 已知角?终边上一点P(?2sin,2cos)，则?=
77A.2 B.-2 C.2?变式3 已知角?的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y?2x上，则cos2?=（ ） A. ?4334 B. ? C. D. 5555题型5 三角函数线及其应用 思路提示
正确作出单位圆中正弦、余弦、正切的三角函数线 一，利用三角函数线证明三角公式 例4.7 证明
（1）sin??-??=sin?， （2）sin????-??=cos? ?2?1?3?????=-
2tan???（3）tan?解析 （1）如图4-9所示，角?-?与?的终边关于y轴对称，MP?MP??sin??-??=sin?. （2）如图4-10所示，角
?2-?与?的终边关于直线y?x对称.
???OM?M?P??sin?-??=cos?
?2?（3） 如图4-11所示，.tan?11?3?????=kOT2=-?-
tan?tan??2?
评注 用单位圆中的三角函数线证明诱导公式是新课标的要求，必须掌握，重点在?????,??,?2??.
在（1）证明中易得cos??-??=-cos?，，相除得tan??-??=-tan?，，在（2）证明 中易得cos????-??=sin?，?2?相除得tan?1????.角?与?-?的终边关于终边（即y轴）对称，角-?与?的终边关于终边???=2?2?tan?所在的直线y?x轴对称.一般地，角?,?的终边关于终边所在直线二.利用三角函数线比较大小 例4.8 ??????2轴对称
????,?，比较sin?,cos?,tan?的大小. ?42?????,?，在单位圆中作出?的正弦线MP，余弦线OM和正切线AT，显然有42??解析 如图4-12所示，???OM 评注 由本例可看出，三角函数线可直观、形象地处理三角函数中的大小比较问题 变式1 求证： （1）当角?的终边靠近y轴时，cos??sin?及tan??1； （2）当角?的终边靠近x轴时，cos??sin?及tan??1； 变式2 （1）?为任意角，求证：cos??sin??1； （2）???0,?????，比较sin?,cos?,tan?的大小 2?变式3 比较大小 （1）sin2,sin4,sin6 （2）cos2,cos4,cos6 （3）tan2,tan4,tan6 变式4 sin??tan??A. ??1??(????) ，则??（） tan?22?????,0? C. ?4?????0,? D. ?4??????,? ?42?????,?? B. 24??三、利用三角函数线求解特殊三角方程 例4.9 利用单位圆中的三角函数线求解下列三角方程： （1）sin2x?21；（2）cos2x?；（3）tan2x?3. 2211?的正弦线，如图4-13所示，得正弦为的两条终边，即?1?，2265??5?，故2x??2k?或2x??2??2k?，k?Z. 666?5?解得x??k?或x??k?，k?Z. 1212解析 （1）在单位圆中作为正弦为（2）如图4-14所示?1?或x???4，?2???4，故2x??4?2k?或2x???4?2k?，k?Z，解得x??8?k??8?k?，k?Z. （3）如图4-15所示，得?1?解得x? ?3，?2?4??，公差为?，故2x??k?，k?Z. 33?6?k?，k?Z. 评注（1）sin??1 ，cos??1，tanx?R； （2）当k?1时，方程sinx?k,cosx?k在[0,2?)有两解. 四、利用三角函数线求解特殊三角不等式 例4.10利用单位圆，求使下列不等式成立 的角的集合. （1）sinx?21；（2）cosx?；（3）tanx?1. 22
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结
