三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结
知识点精讲
一、基本概念
?正角---逆时针旋转而成的角；?（1）任意角?负角---顺时针旋转而成的角；
?零角---射线没旋转而成的角.?角?（弧度）?(??,??).
（2）角?的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，?就叫做第几象限角，终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等） （3）弧度制度：半径为r的圆心角?所对弧长为l，则??
l
（弧度或rad）. r
（4）与角?（弧度）终边相同的角的集合为?????2k?,k?Z，其意义在于?的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变. 注：弧度或rad可省略
（5）两制互化：一周角=3600?0??2?r，即??1800. ?2?（弧度）
r?180?001（弧度）????57.3?5718?
???故在进行两制互化时，只需记忆??1800，10??180两个换算单位即可：如：
5?5????1800?1500；360?36??. 661805（6）弧长公式：l??r(??(0,2?])， 扇形面积公式：S?11lr??r2. 22121lr，如图4-1所示. 2注：关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有S?g底g高=l r r 图 4-1
二、任意角的三角函数 1.定义
已知角?终边上的任一点P(x,y)（非原点
O），则
P
到原点
O
的距离
r?OP?x2?y2?0.sin??yxy,cos??,tan??. rrx此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对?y，邻?x，斜?r， 如图4-2所示.
r（斜） y（对） ? x（邻） 图 4-2 2.单位圆中的三角函数线
以?为第二象限角为例.角?的终边交单位圆于P，PM垂直x轴于M， ?的终边或其反向延长线交单位圆切线AT于T，如图4-3所示，由于取?为第二象限角，sin?=MP>0, cos?=OM<0, tan?=AT<0.
P(cos?,sin?) y ? MOA xT(1，tan?) 图4-3
3.三角函数象限符号与单调性 在单位圆中r?（1）sin??
x2?y2?1，则：
y?y，即?终边与单位圆交点的纵坐标y即为?的正弦值sin?. r如图4-4（a）所示，sin?的特征为：
；?上正、下负?01，下（2700）?1，左、右都为0；?上（90） ?按逆时针方向旋转，向上（一、四）象限为增，???从?1增到1，向下（二，三象限）为减，从1减到?1.x?x，即?终边与单位圆交点的横坐标x即为的余弦值cos?. r如图4-4（b）所示，cos?的特征为：
（2）cos???右正、左负；?01，左（1800）?1，上、下都为0；?右（0） ??按逆时针方向旋转，向右（三、四）象限为增，??从?1增到1，向左（一，三象限）为减，从1减到?1.（3）tan??y.如图4-4（c）所示，tan?的特征为： x?一、三正，二、四负；? ?上、下是（即不存在），左、右都是0；?逆时针方向旋转，各象限全增.?
三、同角三角函数的基本关系、诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系 平方关系：sin2??cos2??1 商数关系：tan??减0 减1 y sin? cos?减-1 增0 y 减增0 增????y 增增+ + O 0 －－ x -1 （a）增— + O 1 — + x 0 （b）图 4-4 增－ + O 0 +－ x ????增（c）
2. 诱导公式
（1）sin(??n?)???sin?(n为偶数)；
??sin?(n为奇数)?cos?(n为偶数)cos(??n?)??；
?cos?(n为奇数)?tan(??n?)?tan?(n为整数).
（2）奇偶性.
sin?-??=-sin?，cos?-??=cos?，tan?-??=-tan?.
（3）sin?1?????????-??=cos?，cos?-??=sin?，tan?-??= 222tan???????奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作n?多大，一律视为锐角，判断n??2（2）无论有??；
?2（3）当n为奇数??所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
是，“奇变”，正变余，余变正；当n为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可. 例如（1）sin?????????+??,因为?+???，所以sin?+??>0，
22?2??2?即sin????+??=cos?， ?2?（2）sin??+??，因为???+??3?，所以sin??+??<0，即sin??+??=-cos?， 2
简而言之即“奇变偶不变，符号看象限”.
题型归纳及思路提示
题型1终边相同的角的集合的表示与区别 思路提示
（1） 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决.
（2） 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角
是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角.
例4.1终边落在坐标轴上的角的集合为（ ） A. ???k?,k?Z?? B. ??????k??,k?Z?C. 2?
???????k??,k?Z?D.
2??k???,k?N? ????2??分析 表示终边相同的角的集合，必有k?Z，而不是k?N.
解析 解法 一：排除法.
终边在坐标轴上的角有4种可能，x轴正、负半轴，y轴正、负半轴，取k?1,2,3,4,K,可知只有选项B占有4条半轴，故选B. 解法二;推演法.
终边在坐标轴上的角的集合为\K,?2?,??,??,??,0,?,?,?,2?,K\可以看作双向等差数列，公差为
32121232k??，取初始角??0，故??0?(k?Z)，
22k?k???,k?Z?故选B. (k?Z)?????22??故??0?评注 终边在x轴的角的集合，公差为?，取初始角??0????k?,k?Z；终边在y轴的角的集合，公差为?，取初始角?????????????k??,k?Z?.
22??例4.2 请表示终边落在图4-5中阴影部分的角的集合.
分析 本题是关于区域角的表示问题，需要借助终边相同角的集合表示知识求解，只需要把握区域角初始角的范围和终边相同角的集合的公差的大小即可顺利求解.
?y 3 O (a) ? 6x 2? 3y O ?(b) ? 6x 2?y 3O ?y 3 O (d) 7? x 6?? 4?6 (c) 3? 6x 图 4-5 解析 （1）如图4-5（a）所示阴影部分的角的集合表示为
???????2k?????2k?,k?N?；
3?6?（2）如图4-5（b）所示阴影部分的角的集合表示为??????6?2k????2???2k?,k?N?； 3?（3）如图4-5（c）所示阴影部分的角的集合表示为????2?11???2k?????2k?,k?N?； 36?（4）如图4-5（d）所示阴影部分的角的集合表示为?????6?k???????k?,k?N?. 3?评注 任一角?与其终边相同的角，都可以表示成?与整数个周角的和，正确理解终边相同的角的集合中元素组成等差数列，公差为2?，即集合的周期概念，是解决本题的关键.
??kk??
x＝·180°＋45°，k∈Z?，N＝?x?x＝·180°＋45°，k∈Z?，那么( ) 变式1设集合M＝?x?24??????
A．M?N C．M＝N
例4.3 下列命题中正确的是（ ）
A. 第一象限角是锐角 B. 第二象限角是钝角 C.
B． N?M D．M∩N＝?
???0,??，是第一、二象限角
???,0?，?是第四象限角，也叫负锐角 ?2???D. ????解析 第一象限角的集合为??0?2k????故选项A错；同理选项B错；选项C中题型2 等分角的象限问题 思路提示
???2k?,k?Z?，锐角的集合是是其真子集（即当k?0时）2??2?(0,?)，但
?不是象限角，选项C也错，故选D. 2 先从?的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）例4.4 ? 是第二象限角，
?的象限分布图示. n?2是第 象限角
解析 解法一：?与终边相同的角的集合公差为2?，该集合中每个月的一半组成的集合公差为?，取第二象限的一个初始集合?4-6所示，得
?????????,??，得的初始集合?,?，对比集合以?公差旋转得的分布，如图
22?42??2??2是第一、三象限角.
解法二：如图4-7所示，?是第二象限角，象限角.
?2是第一、三象限角，又若?是第四象限角，
?2是第二、四
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结
