第二节 极坐标与参数方程(选修4-4)
考纲解读
1.理解坐标系的作用.
2.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
3.能在极坐标中用极坐标表示点的位置.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.
4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置方法相比较，了解它们的区别. 6.了解参数方程,了解参数的意义.
7.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 8.掌握参数方程化普通方程的方法.
命题趋势探究
本章是新课标新增内容，属选考内容，在高考中可能有所体现.
参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具之一，值得特别关注.
知识点精讲
一、极坐标系
在平面上取一个定点O，由点O出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O称为极点，Ox称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度?和从Ox到OM的角度? (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示).
这两个实数组成的有序实数对(?,?)称为点M的极坐标. 角.
?称为极径，?称为极
? O M(?,?) y ? x M(x,y) ? 图 16-31 ? O 图 16-32 x 二、极坐标与直角坐标的互化
设M为平面上的一点，其直角坐标为(x,y)，极坐标为(?,?)，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:
??2?x2?y2?x??cos??或? （对??0也成立）. ?y?y??sin??tan??(x?0)x?word.
三、极坐标的几何意义
??r——表示以O为圆心，r为半径的圆；
???0——表示过原点(极点)倾斜角为?0的直线，???0(??0)为射线；
??2acos?表示以(a,0)为圆心过O点的圆.
(可化直角坐标: ??2a?cos??x?y?2ax?(x?a)?y?a.)
222222四、直线的参数方程
直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为
y?y0?k(x?x0)，其中k?tan?(?为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:
y?y0?x?x0y?y0sin???. (x?x0)(??),即
cos?sin?cos?2记上式的比值为t,整理后得??x?x0?tcos??,??也成立，故直线的参数方
2?y?y0?tsin??x?x0?tcos?程为?(t为参数，?为倾斜角，直线上定点M0(x0,y0)，动点M(x,y) ，
?y?y0?tsin?t为M0M的数量，向上向右为正(如图16-33所示).
y t M(x,y) M0(x0,y0) O
图 16-33 x
五、圆的参数方程
若圆心为点M(x0,y0)，半径为r，则圆的参数方程为?
?x?x0?rcos?(0???2?).
?y?y0?rsin?六、椭圆的参数方程
?x?acos?x2y2椭圆C:2?2?1的参数方程为?（?为参数，(0???2?)）.
ab?y?bsin?七、双曲线的参数方程
word.
?x?asec?x2y2? 双曲线C:2?2?1的参数方程为?(??k??,k?Z).
ab2?y?btan?八、抛物线的参数方程
?x?2pt2 抛物线y?2px的参数方程为?（t为参数，参数t的几何意义是抛物线
?y?2pt2上的点与顶点连线的斜率的倒数）.
题型归纳即思路提示
题型196 极坐标方程化直角坐标方程
思路提示
对于极坐标方程给出的问题解答一般都是通过化为直角坐标方程，利用直角坐标方程求解.这里需注意的是极坐标系与直角坐标系建立的对应关系及其坐标间的关系
?x??cos?. ?y??sin??例16.7 在极坐标系中，圆??4sin?的圆心到直线??是 .
分析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解.
解析 极坐标系中的圆??4sin?转化为平面直角坐标系中的一般方程为
?6(??R)的距离
x2?y2?4y，即x2?(y?2)2?4，其圆心为(0,2)，直线??标系中的方程为：y??6转化为平面直角坐
3x，即x?3y?0.圆心(0,2)到直线x?3y?0的距离为3|0?23|1?(3)22?3.
变式1 已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为?cos??3，??4cos?，
(??0,0????2)，则曲线C1与C2交点的极坐标为 . 变式2 ⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为??4cos?,???4sin?.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别化为直角坐方程; (2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程.
word.
变式3 已知一个圆的极坐标方程是??53cos??5sin?，求此圆的圆心和半径. 例16.8 极坐标方程(??1)(???)?0(??0)表示的图形是（ ）
A. 两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 分析 将极坐标方程化为直角坐标方程.
解析 因为(??1)(???)?0(??0)，所以??1或???(??0).
??1?x2?y2?1，得x2?y2?1，表示圆心在原点的单位圆；???(??0)表示
x轴的负半轴，是一条射线.故选C.
变式1 极坐标方程??cos?和参数方程??x??1?t（t参数)所表示的图形分别是
y?2?3t?( )
A.圆、直线 B.直线、圆 C.圆、圆 D.直线、直线 变式2 在极坐标系中，点P(2,??)到直线l:?sin(??)?1的距离是 . 66?变式3 （2012陕西理15）直线2?cos??1与圆??2cos?相交的弦长为 .
题型197 直角坐标方程化为极坐标方程
思路提示
如果题目中已知的曲线为直角坐标方程，而解答的问题是极坐标系下的有关问题，这里要利用直角坐标与极坐标关系式??x??cos?，将直角坐标方程化为极坐标方程.
y??sin??22例16.9 （2012辽宁理23）在直角坐标系xOy中，圆C1：x?y?4，圆C2：
(x?2)2?y2?4.
（1）在以O为极点，x轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1, C2的极坐标方程，并求出圆C1, C2的交点坐标（用极坐标表示）; （2）求出C1与C2的公共弦的参数方程.
解析 （1）圆C1的极坐标方程为??2，圆C2的极坐标方程为??4cos?.
???2?解得??2，???，故圆C1与圆C2的交点的坐标为 ?3???4cos?(2,),(2,?).
33word.
??注：极坐标系下点的表示不唯一.
（2）解法一：由??x??cos?，得圆C1与圆C2的交点的坐标分别为
?y??sin??x?1(1,3),(1,?3).故圆C1与C2的公共弦的参数方程为?(?3?t?3).
y?t?解法二： 将x?1代入??x??cos?1得?cos??1，从而??.于是圆C1与C2的公
cos??y??sin?共弦的参数方程为??x?1??(????).
3?y?tan?322变式1 (2012 江西理 15)曲线C的直角坐标方程为x?y?2x?0，以原点为极点，x轴的正半轴为极抽建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为 _.
题型198 参数方程化普通方程
思路提示
已知直线或曲线的参数方程讨论其位置关系、性质问题一般要通过消参（代入法、加
减法，三角法)转化为普通方程解答. 例16.10 若直线3x?4y?m?0与圆?的取值范围是 .
?x?1?cos?( ?为参数)没有公共点，则实数m?y??2?sin??x?1?cos?22解析 将圆的参数方程?( ?为参数)化为普通方程(x?1)?(y?2)?1，
?y??2?sin?圆心(1,?2)，半径r?1.直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径，
|3?8?m|?1?|m?5|?5，得m?10或m?0，即m的范围是(??,0)(10,??). 5?x?t?3变式1 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程?（参数t?R），圆C的
y?3?t?参数方程为??x?2cos?（参数??[0,2?]），则圆C圆心坐标为 _，圆心到直线l的
?y?2sin??2距离为 .
?x?acos?变式2 (2013湖北理16)在庄角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程?（?为参
y?bsin??数，a?b?0），在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，
word.
高考数学总复习 极坐标与参数方程#优选、
