高中数学选修2-1学案
2.3.1 双曲线及其标准方程
教材新知
知识点一双曲线的定义 入门答辩
我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航编队远赴亚丁湾，在索马里海域执行护航任务．某日“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”舰相距1 600 m的“千岛湖”舰，3 s后也监听到了该马达声(声速为340 m/s)． 问题1：“千岛湖”舰比“马鞍山”舰距离快艇远多少米？
问题2：若把“马鞍山”舰和“千岛湖”舰看成两个定点A，B，快艇看成动点M，M满足什么条件？ 新知自解 双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这叫做双曲线的焦点，叫做双曲线的焦距. 知识点二双曲线的标准方程 入门答辩
在平面直角坐标系中，已知A(－3,0)，B(3,0)，C(0，－3)，D(0，3)． 问题1：若动点M满足||MA|－|MB||＝4，则M的轨迹方程是什么？
问题2：若动点M满足||MC|－|MD||＝4，则点M的轨迹方程呢？ 新知自解 双曲线的标准方程
标准方程 焦点坐标 a，b，c的关系 归纳领悟
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焦点在x轴上 x2y2－＝1(a>0，b>0) a2b2F1(－c,0)，F2(c,0) 焦点在y轴上 y2x2－＝1(a>0，b>0) a2b2F1(0，－c)，F2(0，c) c2＝a2＋b2 高中数学选修2-1学案 1．双曲线定义的理解
(1)定义中的常数是“差的绝对值”，“绝对值”这一条件不可忽略．若没有绝对值，表示的只是双曲线的一支．①若|PF1|－|PF2|＝2a(a>0)，曲线只表示双曲线靠近F2的一支． ②若|PF1|－|PF2|＝－2a(a>0)，曲线只表示双曲线靠近F1的一支． (2)若|F1F2|＝2a，动点的轨迹不再是双曲线，而是两条射线． (3)若|F1F2|<2a，动点的轨迹不存在．
x2y2y2x2
2．通过双曲线方程2－2＝1(焦点在x轴上)和2－2＝1(焦点在y轴上)(a>0，b>0)可以看出：
abab如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，但是无论双曲线的焦点在哪个轴上，方程中的三个量都满足c2＝a2＋b2. 热点考向
考点一求双曲线的标准方程
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例1 已知双曲线过P1(－2，5)和P2(7，4)两点，求双曲线的标准方程．
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一点通 求双曲线标准方程的步骤：
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题组集训
1．已知双曲线的一个焦点坐标为(6，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为
( )
x22
A.－y＝1 5x2
C.－y2＝1 25
y22
B.－x＝1 5x2y2
D.－＝1 42
x2y2
2．求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．
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考点二双曲线定义的应用
x2y2
例2 已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2
916＝90°，求△F1PF2的面积．
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一点通 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形的使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系；二是要与三角形知识相结合，如勾股定理、余弦定理、正弦定理等，同时要注意整体思想的应用． 题组集训
x2y23．若点M在双曲线－＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|等于( )
164A．2 C．8
B．4 D．12
4．已知动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是____________． 考点三曲线类型的讨论
例3 已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
一点通 解决这类题的基本方法是分类讨论，在分类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在讨论过程中应说出该方程表示的是哪种曲线及其特征． 题组集训
x2y25．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是( )
m－1m2－4A．(1,2)
B．(2，＋∞) D．(－2,2)
C．(－∞，－2)
6．当0°≤α≤180°时，方程x2cos α＋y2sin α＝1表示的曲线如何变化？
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高中数学选修2-1学案 方法小结
1．求双曲线标准方程的方法 (1)定义法
若由题设条件能判断出动点的轨迹是双曲线，可根据双曲线的定义确定其方程，这样能减少运算量．
(2)待定系数法，其步骤为
①定类型：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两种情况都有可能，并x2y2y2x2
设方程为2－2＝1(a>0，b>0)或2－2＝1(a>0，b>0)或mx2＋ny2＝1(mn<0)．
abab
②定量：根据已知条件列出关于a，b，c(或m，n)的方程组．解方程组，将解代入所设方程即为所求．
2．椭圆与双曲线的比较
定义 椭圆 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|) 双曲线 ||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|) x2y2－＝a2b21(a>0，b>0) F(±c,0) y2x2－＝a2b21(a>0，b>0) F(0，±c) a，b，c 方程 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2x2y2＋＝b2a21(a>b>0) 焦点 的关系 F(±c,0) a2＝b2＋c2 F(0，±c) c2＝a2＋b2
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高中数学选修2-1优质学案10：2.3.1 双曲线及其标准方程
