第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛
初二 第2试
2012年4月8日 上午9：00至11：00
一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正
确答案的英文字母写在后面的圆括号内。
1a?b?c?d；○2a?d?b?c；○3c?d，则a,b,c,d的大小关系1.实数a,b,c,d满足：○
是（ ）
（A）a?c?d?b （B）b?c?d?a （C）c?d?a?b （D）c?d?b?a 2.下列等式中不恒成立的是（ ） (A)
a?ba?ba?ba?babab (B) ??????ababa?1b?1a?1b?1aaa3?b3a?b2（C）a?2 （D）3 ?a?2?3a?1a?1a?(a?b)a?(a?b)3.一组数据由五个正整数组成，中位数是4，且唯一的众数是7，则这五个正整数的平均数等于
（ ）
（A）4.2或4.4 （B）4.4或4.6 （C）4.2或4.6 （D）4.2或4.4或4.6 4.化简：4?7?4?7?（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）2
5.Put 8 identical balls into 3 different boxes, each box has at least 2 balls. How many different ways to put the balls?( ) (A)6 (B)12 (C)18 (D)36
(英汉词典：identical完全相同)
6.如图1，在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别是（0，0），（4，0），（3，-2），以A、B、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
k图象上的两点，AC、BD都垂x直于y轴，垂足分别是C、D。连接OA、OB，若OA交BD于点E，且?OBF的面积是2011，则
7.如图2，设点A、B是反比例函数y?梯形AEDC的面积是（ ）
（A）2009 （B）2010 （C）2011 （D）2012
8.如图3，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是AD上的动点，PE?BD于F，则PE+PF的值是（ ）
（A）4.6 （B）4.8 （C）5 （D）7
9.设a,b是实数，且（ ）
（A）3 （B）-3 （C）3(b?a) （D）无法确定的
10.循环节长度是4的纯循环小数化成最简分数后，分母是三位数，这样的循环小数有（ ） （A）798个 （B）898个 （C）900个 （D）998个 二、填空题（每小题4分，共40分） 11.若a?0，计算：a20121111?b1?a，则的值是???1?a1?bb?a1?a1?b?a2011?a?
12.若以x为未知数的方程
2x?a??1的根是负数，则实数a的取值范围是 x?2213.若n(n?0)是以x为未知数的方程x?mx?5n?0的根，则m-n的值是 14.正整数a,b满足等式15.已知x?13ab??，那么a? ，b? 153511的值是 ?6(0?x?1)，则x?xx16.已知点A（4，m），B（-1，n）在反比例函数y?8的图象上，直线AB与x轴交于C，如果x点D在y轴上，且DA=DC，则点D的坐标是
17.如图4，等腰直角?ABC中，?A?90，底边BC的长为10，点D在BC上，从D作BC的垂线交AC于点E，交BA的延长线于点F，则DE＋DF的值是
18.如图5，在边长为6的菱形ABCD中，DE?AB于点E，并且点E是AB的中点，点F在线段AC上运动，则EF+FB的最小值是 ，最大值是
19.若实数a,b,c满足的值是
20.Suppose M?abc321 is a 6-digit number, a,b,c are three different 1-digit numbers, and not less than 4. If M is a multiple of 7, then the minimum value of M is
(英汉词典：multiple倍数)
?abbccaabc?3,?4,?5，则a?bb?cc?aab?bc?ca三、解答题
每题都要写出推算过程 21.（本题满分10分）
如图6，直线y?x?b(b?0)交坐标轴于A、B两点，交双曲线y?两坐标轴的垂线DC、DE，垂足分别为C、E，连接BC、OD。
（1） 求证：AD平分?CDE。
（2） 对任意的实数b(b?0)，求证：AD·BD为定值。
（3） 是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，
求出直线的解析式；若不存在，请说明理由。
22.（本题满分15分）
如图7，在一条平直的公路的前方有一陡峭的山壁，一辆汽车正以恒定的速度沿着公路向山壁驶去。
（1） 若汽车的行驶速度是30m/s，在距离山壁925m处时汽车鸣笛一声，则经过多长时间后
司机听到回声？
（2） 某一时刻，汽车第一次鸣笛，经过4.5s再次鸣笛，若司机听到两次鸣笛的回声的时间
间隔是4s，求汽车的行驶速度。
（已知声音在空气中的传播速度是340m/s）
23.生产某产品要经过三道工序，同一个人在完成这三道工序时所用的时间相同，甲、乙二人同时开始生产，一段时间后，甲恰好完成第k个产品的生产，此时，乙正好在进行某个产品的第一道工序的操作，若甲、乙的生产效率比是6:5，问此时乙至少生产了多少产品？
2于点D，从点D分别作x参考答案 一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 B 5 A 6 B 7 C 8 B 9 A 10 C 二、填空题 题号 11 12 答案 1 13 14 且15 16 17 18 19 20 a??2a?4 -5 2；1 -2 (0,1110 ) 433;6?37 120468321 47
三、解答题
21.（1）因为A、B是直线y?x?b(b?0)和坐标轴的交点，所
由??y?x?b?y?x?b及?
?y?0?x?0得A（-b,0）,B(0,b) 所以?DAC??OAB?45 又DC⊥x轴，DE⊥y轴 所以∠CDE=90 因此?ADC?45
即AD平分?CDE
（2）由（1）知?ACD和?BDE都是等腰直角三角形，所以
???AD?2CD,BD?2DE，AD?BD?2CD?DE?2?2?4
即AD?BD为定值。
（3）若存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形，则 AO=AC，OB=CD
由（1）知AO=BO，AC=CD。 并且B（0，b） 所以得D（-2b,-b） 因为?b?2,b??1（正数舍去） ?2b即存在直线AB：y=x-1，使得四边形OBCD为平行四边形。
22.（1）如图1，设经过ts后司机听到回声，则有30t+340t=2×925，解得t=5. 所以，经过5s后司机听到回声。
（2）设汽车的行驶速度是v1，声音传播的速度是v2，汽车两次鸣笛的时间间隔是?t1；汽车第一次鸣笛t1时间后，司机第一次听到回声；汽车第二次鸣笛t2时间后，司机第二次听到回声；汽车第一次鸣笛时距离山壁为s.
如图2，如果司机先听到第一次鸣笛的回声，则有
?2s?v1t1?v2t1 ?2(s?v?t)?vt?vt111222?两式相减，得
2v1?t1?(v1?v2)(t1?t2)
即t1?t2?2v1?t1
v1?v2司机两次听到回声的时间间隔是
?t2??t1?t2?t1??t1?(t1?t2)?代入数据，得
v2?v1?t1
v1?v24?340?v1?4.5
v1?340解得v1?20m/s
如图3，如果司机先听到第二次鸣笛的回声，同理，得
t1?t2?2v1?t1
v1?v2司机两次听到回声的时间间隔是
?t2?(t1?t2)??t1?
代入数据，得
v1?v2?t1
v1?v24?
v1?340?4.5
v1?340解得v1?5780m/s
这样的速度不切合实际。
所以，汽车的行驶速度是20m/s
23.设甲生产一个产品所用的时间为t，则乙生产一个产品所用的时间为用[a]表示不大于a的最大整数，{a}=a-[a],如[3.14]=3,{3.14}=0.14
6t。 5???kt??5k?甲生产k个产品所用的时间为kt，此时乙生产了?????个产品
?6t??6???5??由题知，乙正在进行某个产品的第一道工序的操作，所以
?5k?10????
?6?3而?11125?5k?可能取值是,,,,,0,（见下表） ?63236?6?
从表中可以看出，满足0???5k?1??的最小的k的值是5， ?6?3因此，乙至少已经生产了??5?5?=4个产品。 ?6??
第二十三届希望杯全国数学邀请赛初二第2试试题及答案标准版
