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重积分
§ 1 二重积分的概念与性质
1、 由二重积分的几何意义求二重积分的值
第九章
I ( I???x2?y2dxdy 其中D为：x2?y2?4
D???x2?y2dxdy=?.4.2?.?.4.2?D1316?) 32，解：
??Da?x?y2222dxdy=
141.?.a3 a? 238,3，设D由圆(x?2)?(y?1)2?2围成,求??3dxdy
D 解：由于D的面积为2?, 故4、设D：{(x,y)|3? I1??3dxdy=6?
DDx?5,0?y?1}，
???ln(x?y)dxdy,I2???[ln(x?y)]2dxdy，比较I1, 与I2的大小关系
D解：在D上，ln(x?y)? [ln(x?y)]2,故I1?I2
25、 设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 x
?y2?1, 和曲面z?[f(xy)]2所围的
?[f(xy)]??222 立体的体积，可用二重积分表示为Vdxdy
D:x?y?16、根据二重积分的性质估计下列积分的值
22??sinxsinydxdy D:0?x??,0?y?? D222??sinxsinydxdy??) D (0?7,解：利用积分中值定理及连续性有lim1a?0?a2??f(x,y)dxdy?limf(?,?)?D8a?0f(0,0)
§ 2 二重积分的计算法 1C,2C,3D,4C,5A,6B,7A 3、求 I???D3x29dxdy ，其中 D:由x=2,y=x,xy=1所围成. ()
4y2
lnx0?dx?f(x,y)dy,交换积分次序后I为：
f(x,y)dy=?dy?f(x,y)dx I=?dx?2(1)、设I=
31lnxln33100ey__________________________________________________
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2(2)、改变二次积分的次序：
?0dx?0f(x,y)dy??2dx?02
2
2x44?xf(x,y)dy = ?xdx?01x22x1y2dx
4(1)设 I=
??D1R2?x2?y2dxdy,其中D是由x+y=Rx所围城的区域，求I (?R3)
32222x?y?9 ，其中D是圆域|x?y?4|dxdy??4(2)、计算二重积分
2D 解：
2d?(4?r)rdr?d?(r?4)rdr?=|x?y?4|dxdy??????22?222?3D000241?2
3(3)、计算二重积分
??eDmax{x2,y2}dxdy，其中D={(x,y)| 0≤x≤1,0≤y≤1}
xx21y2 解：
??eDmax{x2,y2}dxdy=?dx?edy??dy?eydx?e?1
000014(3)、计算二重积分
x?ydxdy，D：x2?y2?1,x?y?1. 22??Dx?y?1x?yr(cos??sin?)4??2d?dxdy 解：??2=rdr?12??0x?y2r2cos??sin?D
第九章 自测题
一、选择题1D,2B,3B
二、计算下列二重积分:（20分） 1、
22??(x?y)d?D,其中
D是闭区域:0?y?sinx,0?x??. (?2?40) 92、
yarctand?,其中D是由直线y?0及圆周x2?y2?4,x2?y2?1,y?x所围 ??xD32?) 64?y2?R2 (
成的在第一象 限内的闭区域 . ( 3、
2??(y?3x?6y?9)d?,其中DD是闭区 域:x2?4R4?9?R2)
4、
??Dx2?y2?2d?,其中D:x32?y2?3. (
3?y5?.) 223?x0三， 1、
1?10dy?x2y0f(x,y)dx??dy?10f(x,y)dx (?dx?x1y200f(x,y)dy)
22y?y22 2、
f(x,y)dy (?dy?f(x,y)dx??dy?f(x,y)dx) ?dx??? 3、?d??f(rcos?,rsin?)rdr (?d??f(rcos?,rsin?)rdr)
01?1?x210aa0000五、（5分）求平面
xyz???1被三坐标面所割出的有限部分的面积 . abc__________________________________________________
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(
122ab?b2c2?c2a22)
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第九章青岛理工大学高数练习册答案
