函数的单调性与最值（含例题详解） 

A．(－∞，2)

B.???,D.???13? ?8?C．(－∞，2]

解析：选B 函数f(x)是R上的减函数，

?13?,2? ?8??a?2?013?2于是有?，由此解得a≤， 1??8

??a?2??2????1?2??即实数a的取值范围是???,[解题通法]

1．含“f”不等式的解法

首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．

2．比较函数值大小的思路

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．

巩固练习

一、选择题

1．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A 解析：f(x)对称轴x＝a，当a≤1时f(x)在[1，＋∞)上单调递增．∴“a＝1”为 f(x)在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．

2??x?4x,x?02

2．已知函数f?x???，若f(2－a)>f(a)，则实数a的取值范围是( ) 2??4x?x,x?0??13?? . 8?A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)

C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

答案：C 解析：由题知f(x)在R上是增函数，由题得2－a2>a，解得－2

B．5

C．6

D．7

答案：C

解析：由题意知函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三

个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函数f(x)图 象的最高点．

4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝A．(－1,0)∪(0,1) C．(0,1)

a

在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( ) x＋1

B．(－1,0)∪(0,1] D．(0,1]

答案：D 解析:f(x)在[a，＋∞)上是减函数，对于g(x)，只有当a>0时，它有两个减区 间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0

5．已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值 ( ) A．一定大于0 C．等于0

B．一定小于0 D．正负都有可能

答案：A 解析：∵f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．

又∵x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，∴x1>－x2，x2>－x3，x3>－x1. 又∵f(x1)>f(－x2)＝－f(x2)，f(x2)>f(－x3)＝－f(x3)，f(x3)>f(－x1)＝－f(x1)， ∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>－f(x2)－f(x3)－f(x1)． ∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0.] 二、填空题

6．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．

7．设f(x)是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y＝[f(x)]2是增函数；②y＝3

答案：[0，]

2

1

是减函数；③y＝－f(x)是减函数；④y＝|f(x)|是增函数． f?x?

解析：y????3??x?3?x?x?0?画图象如图所示：可知递增区间为[0，]．

2x?3xx?0??????11

8．设0

x1－x 答案：4

111111

解析 y＝＋＝，当0

x1－xx?1－x?244三、解答题

1

9．已知函数f(x)＝a－. |x|

(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． 1

(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－，

x设00，x2－x1>0.

1111x1－x2

f(x1)－f(x2)＝(a－)－(a－)＝－＝<0. x1x2x2x1x1x2∴f(x1)

(2)解：由题意a－<2x在(1，＋∞)上恒成立，

x1

设h(x)＝2x＋，则a

x11

∵h′(x)＝2－2，x∈(1，＋∞)，∴2－2>0，

xx∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增．故a≤h(1)，即a≤3. ∴a的取值范围为(－∞，3]．

10．已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 解：设f(x)的最小值为g(a)，则只需g(a)≥0， a

由题意知，f(x)的对称轴为－. 2

a7

(1)当－<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤.

23又a>4，故此时的a不存在．

aaa2

(2)当－∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝f(－)＝3－a－≥0得－6≤a≤2.

224又－4≤a≤4，故－4≤a≤2.

a

(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0得a≥－7.

2又a<－4，故－7≤a<－4.

综上得所求a的取值范围是－7≤a≤2.

11．已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时， 有

f?a??f?b?a?b?0成立．

(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明它； 11(2)解不等式：f(x＋)

2x－1

(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)任取x1，x2∈[－1,1]，且x1

由已知得

f?x1??f??x2?x1???x2??0，x1－x2<0，

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

11?x???2x?1?13?∴??1?x??1 ∴－≤x<－1.

22?1??1??1?x?1?(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f(x)≤1. 问题转化为m2－2am＋1≥1， 即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]成立． 下面来求m的取值范围． 设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.

①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1,1]恒成立．

②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0， 且g(1)≥0， ∴m≤－2，或m≥2.

∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.