2024年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷，解析版）
数学Ⅰ试题
注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。 参考公式： 1n1n2样本数据x1,x2,L,xn的方差s??(xi?x),其中x??xi ni?1ni?1 2一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上. ．
1.若复数z1?4?29i,z2?6?9i,其中i是虚数单位，则复数(z1?z2)i的实部为 ▲ 。 【解析】考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。 -20
rrrrrrrro2.已知向量a和向量b的夹角为30，|a|?2,|b|?3，则向量a和向量b的数量积a?b= ▲。 rr3?3 【解析】 考查数量积的运算。 a?b?2?3?23.函数f(x)?x?15x?33x?6的单调减区间为 ▲ . 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。
32f?(x)?3x2?30x?33?3(x?11)(x?1)，
由(x?11)(x?1)?0得单调减区间为(?1,11)。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
4.函数y?Asin(?x??)（A,?,?为常数，
A?0,??0）在闭区间[??,0]上的图象如图所示，则
?= ▲ . 【解析】 考查三角函数的周期知识。
3 T??2，T2??3，所以??3，
5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 ▲ . 【解析】 考查等可能事件的概率知识。
从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。
6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表： 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7 23号 7 6 4号 8 7 5号 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为s= ▲ . 【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算。 甲班的方差较小，数据的平均值为7，
(6?7)2?02?02?(8?7)2?022? 故方差s?5527.右图是一个算法的流程图，最后输出的W【解析】 考查读懂算法的流程图的能力。 22
? ▲ . 8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ .
【解析】 考查类比的方法。体积比为1：8
9.在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 ▲ . 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。
3y??3x2?10?2?x??2，又点P在第二象限内，?x??2点P的坐标为（-2，15）
10.已知a?5?1x，函数f(x)?a，若实数m、n满足f(m)?f(n)，则m、n的大小关2系为 ▲ . 【解析】考查指数函数的单调性。
a?5?1?(0,1)，函数f(x)?ax在R上递减。由f(m)?f(n)得：m 12.设?和?为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若?内的两条相交直线分别平行于?内的两条直线，则?平行于?； （2）若?外一条直线l与?内的一条直线平行，则l和?平行； （3）设?和?相交于直线l，若?内有一条直线垂直于l，则?和?垂直； （4）直线l与?垂直的充分必要条件是l与?内的两条直线垂直。 上面命题中，真命题的序号 ▲ （写出所有真命题的序号）. ．．．【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。 真命题的序号是(1)(2) ．．． x2y213．如图，在平面直角坐标系xoy中，A1,A2,B1,B2为椭圆2?2?1(a?b?0)的四个顶 ab点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OTF为其右焦点，的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ . 【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。 直线A1B2的方程为： xy??1； ?abxy??1。二者联立解得：c?b直线B1F的方程为： T(2acb(a?c),)， a?ca?cx2y2acb(a?c),)在椭圆2?2?1(a?b?0)上， 则M(aba?c2(a?c)c2(a?c)2222??1,c?10ac?3a?0,e?10e?3?0， 22(a?c)4(a?c)解得：e?27?5 14．设?an?是公比为q的等比数列，|q|?1，令bn?an?1(n?1,2,L)，若数列?bn?有连续四项在集合??53,?23,19,37,82?中，则6q= ▲ . 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 ?an?有连续四项在集合??54,?24,18,36,81?，四项?24,36,?54,81成等比数列，公比为 3q??，6q= -9 2二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（本小题满分14分） rrr设向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?) rrr（1）若a与b?2c垂直，求tan(???)的值； rr（2）求|b?c|的最大值; rr（3）若tan?tan??16，求证：a∥b. 【解析】 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14分。 16．（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D?B1C求证：（1）EF∥平面ABC； （2）平面A1FD?平面BB1C1C. 【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。 。 17．（本小题满分14分） 2222设?an?是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a2?a3?a4?a5,S7?7。 （1）求数列?an?的通项公式及前n项和Sn； （2）试求所有的正整数m，使得 amam?1为数列?an?中的项。 am?2【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。 （1）设公差为d，则a22222，由性质得?3d(a4?a3)?d(a4?a3)，因为?a5?a4?a3d?0，所以a4?a3?0，即2a1?5d?0，又由S7?7得7a1?a1??5，d?2, (2) （方法一）则 7?6d?7，解得2 amam?1(2m?7)(2m?5)=,设2m?3?t， am?22m?3amam?1(t?4)(t?2)8=?t??6, 所以t为8的约数 am?2tt （方法二）因为 amam?1(am?2?4)(am?2?2)8??am?2?6?为数列?an?中的项， am?2am?2am?2故 8 am+2为整数，又由（1）知：am?2为奇数，所以am?2?2m?3??1,即m?1,2 经检验，符合题意的正整数只有m?2。 18．（本小题满分16分） 22在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x?3)?(y?1)?4和圆 C2:(x?4)2?(y?5)2?4. （1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；
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