数学高一三角函数

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的图象与性质

一、目标认知 学习目标：

1．能画出 2．了解

的图象；

对函数图象变化的影响 .

重点：

的图象与性质，如值域、最值、单调性、周期性等

.

难点：

性质的应用 .

二、知识要点梳理

知识点一：用五点法作函数

的图象

的简图，主要是通过变量代换，设

，由 z

用“五点法”作

取

来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象

要点诠释： 用“五点法”作

.

图的关键是点的选取，其中横坐标成等差

数列，公差为

.

知识点二：函数

中有关概念

表示一个振动量时， A 叫做振幅，

叫做周期，

叫做频率，

叫做相位， x=0 时的相位 称为初相 .

知识点三：由 得图象通过变换得到 的图象

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1. 振幅变换：

(A＞ 0 且 A≠1) 的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸

长(A ＞ 1) 或缩短 (0 ＜ A＜1) 到原来的 A 倍得到的 ( 横坐标不变 ) ，它的值域 [-A ，A] ，最大值是A，最小值是 -A. 若 A＜ 0 可先作 y=-Asinx 的图象，再以 x 轴为对称轴翻折 .A 称为振幅 .

2. 周期变换：

函数

的图象， 可看作把正弦曲线上所有点的横坐标倍( 纵坐标不变 ). 若 则可用诱导公式将

缩短

或伸长

到原来的

.

符号“提出”再作图 决定了函数的周期 .

3. 相位变换：

函数

( 其中 ) 的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左

( 当

＞0时)或向右(当

＜ 0时) 平行移动 个单位长度而得到 .( 用平移法注意讲清方向：

“左加右减” ).

要点诠释： 一般地，函数

的图象可以看作是

用下面的方法得到的：

(1) 先把 y=sinx 的图象上所有的点向左 (

＞0) 或右

＜ 0) 平行移动

到原来的

个单位；

(2) 再把所得各点的横坐标缩短

( 或伸长

倍( 纵坐标不

变 ) ；

(3) 再把所得各点的纵坐标伸长 (A ＞ 1) 或缩短 (0 ＜ A＜ 1) 到原来的 A 倍( 横坐标不变 ).

三、规律方法指导

1. 确定

的解析式的步骤

(1) 首先确定振幅和周期，从而得到

；

(2) 确定

值时，往往以寻找“五点法”中第一个零点 作为突破口， 要注意从

图象的升降情况

找准第一个零点的位置，同时要利用好最值点 2. 三角函数模型的应用及解题步骤

(1) 根据图象建立解析式或根据解析式做出图象； (2) 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型；

.

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(3) 利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型 .

经典例题透析

类型一：三角函数的图象

1．画出函数 y=sin(x+

) ，x∈R 的简图 .

解析：

法一： (五点法 ) ： 列表

x

0

x+

0

sin(x+

1 0 -1 0

)

描点画图：

法二： ( 图象变换 )

函数 y=sin(x+

长度而得到 .

) ，x∈ R 的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动

个单位

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2．画出函数 y=3sin(2x+ ) ，x∈ R 的简图 .

解： ( 五点法 ) 由

，得 ，列表：

x

0

2x+

3sin(2x+

0 3 0 -3 0

)

描点画图：

这种曲线也可由图象变换得到：

总结升华： 由 y=sinx 的图象变换出

的图象一般有两个途径， 只有区别

.

开这两个途径，才能灵活进行图象变换

途径一：

先平移变换再周期变换 先将 y=sinx

( 伸缩变换 ).

个单位，再将图象上各点的横

的图象向左 ( ＞ 0) 或向右 ( ＜ 0) 平移

坐标变为原来的 倍 ，便得 的图象 .

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