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三角函数的图象和性质
撰稿：皇甫力超
审稿：安东明
( 一)
责编：张杨
目标认知 学习目标
1.掌握正弦、余弦函数、正切函数的图象和性质； 2.学会 “五点作图法 ”； 3.理解周期性的概念；
4.掌握研究函数的一般方法，并在用研究函数的一般方法研究正弦函数的过程中，体会
数形结合的数学思想；
5.在研究过程中培养归纳和化归的能力； 6.培养抓住事物间联系进行转化的思想
.
学习重、难点
正弦函数的图象和性质，五点作图法
.
学习内容
正弦函数和余弦函数的图象和性质
一、正弦函数的图象和性质
研究正弦函数的主要思路有两个：
数性质如下表所示：
一是利用三角函数线， 描点作图， 利用函数图象研究
.正弦函
性质；二是按照研究函数的一般方法研究正弦函数性质，再根据性质作出函数图象
y=sinx
定 义
值域
域
奇偶性 单调性
周期性
奇函数
[-1 ， 1]
由诱导公 式易推导
在
上单调增
T=2
可以根据
R
诱导公式
在 上单调减
得到
可以利用三角函数线进行观察和研究得到
根据正弦函数的性质，可以做出正弦函数
( 一个周期内的 )图象如下：
说明：
(1) 正弦函数定义域为
R，没有任何限定；
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(2) 正弦函数是奇函数，因此可以先作出
区间上的函数图象，然后根据奇函数的
性质对称得到整个定义域上的图象；
(3) 正弦函数是周期为
，因此只需要关注一个周期
(例如 )的图象即可；
(4) 因为 ，所以 点是正弦曲线的一个对称中心 . 因此只需作出区间 [0 ， ] 上的正弦曲线，然后利用中心对称即能作出区间 [0 ， 2 ] 上的正弦曲线 .事实上，正弦曲线的对称中心为 ；
(5) 因为 ，所以直线 是正弦曲线的一个对称轴 .因此只需
作出区间 上的图象，然后利用轴对称性得到区间 上的图象 .事实上，正弦曲线
的对称轴为
；
(6) 一般常用五点法作图作出正弦曲线的草图 .具体操作办法：列表计算，然后描出函数图象的五个关键点 (最值点和平衡位置点 ) ，再结合函数值在各个特殊点附近的变化趋势，即可大致描绘出正弦函数的图象 .
二、余弦函数的图象和性质
在研究余弦函数的图象和性质时，
可以类比正弦函数图象和性质的研究办法：
一是描点
作图，利用图象读性质；二是研究性质，利用性质作图 .考虑到正弦函数和余弦函数的关系，
可以有更简单的做法：平移正弦函数图象
(向左平移 ) 得到余弦函数的图象，然后由
图象观察余弦函数的相关性质
.
余弦函数图象：
余弦函数性质：
y=cosx
定 义
值域
域
奇偶性
单调性
周期性
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偶函数 也可以由诱
[-1 ，1]
在
上单调减 上单调增
T=2
也可以根据
R
在
导公式易推 导
诱导公式得 到
也可以利用三角函数线进行观察和研究得
到
典型例题
1.求下列函数的定义域：
(1) (2) (3)
.
； ；
【解析】
(1) 由题 ，所以有
.
即
.所以函数的定义域为 .
(2) 由题 ，解不等式得： .
(3) 由题 ，容易解得 .
2.求函数的值域：
(1)
；
(2) .
【解析】通过换元方法转化为熟悉的函数类型来处理，注意换元后新元的取值范围 .
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(1)令 .
.
.
(2) 令
在 [-1 ， 1] 上函数单调增 .
.
.
3.求下列函数的单调增区间：
(1)y=cos2x ；
(2) ；
(3) .
【解析】
(1) 当 单调递增 .
∴y=cos2x 的单调增区间为
.
(2)当 ，
单调递增 . ∴该函数的单调增区间为
.
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数学高一三角函数
