第4讲 不等式
[考情考向分析] 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、线性规划、绝对值不等式的应用问题是高考的热点,主要以选择题、填空题为主.2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围.3.在解答题中,特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数或数列问题时常利用不等式进行求解,难度较大.
热点一 基本不等式
利用基本不等式求最大值、最小值,其基本法则是:(1)如果x>0,y>0,xy=p(定值),当x=
y时,x+y有最小值2p(简记为:积定,和有最小值);(2)如果x>0,y>0,x+y=s(定值),
12
当x=y时,xy有最大值s(简记为:和定,积有最大值).
4
2
例1 (1)(2018·浙江省金丽衢十二校联考)设a>b>0,当+取得最小值c时,函数f(x)
2b?a-b?=|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值为( ) A.3 B.22 C.5 D.42 答案 A
2[b+?a-b?]2
解析 +=+ 2b?a-b?2b?a-b?≥2b(a-b)+
2
≥2b?a-b?
2b?a-b?·
2
=4,
b?a-b?
a2
a2
2
当且仅当a=2b=2时,上面不等式中两个等号同时成立, 2
所以+的最小值为4,此时a=2,b=1,c=4,
2b?a-b?则f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-4| 7-3x,x<1,??5-x,1≤x≤2,=?x+1,2
a2
所以当x=2时,函数f(x)取得最小值f(2)=5-2=3,故选A.
(2)(2018·诸暨市高考适应性考试)已知a,b为正实数,且(a+b)(a+2b)+a+b=9,则3a+4b的最小值为________.
1
答案 62-1
解析 由(a+b)(a+2b)+a+b=9,得a+b=18
+(a+2b+1)-1≥2
a+2b+1
9
,则3a+4b=2(a+b)+a+2b=
a+2b+1
1818
×?a+2b+1?-1=62-1,当且仅当=aa+2b+1a+2b+1
+2b+1>0时,等号成立,所以3a+4b的最小值为62-1.
思维升华 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立的条件)的条件,否则会出现错误.
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跟踪演练1 (1)设x>0,y>0,若xlg 2,lg2,ylg 2成等差数列,则+的最小值为( )
xyA.8 B.9 C.12 D.16 答案 D
解析 ∵xlg 2,lg2,ylg 2成等差数列, ∴2lg2=(x+y)lg 2, ∴x+y=1,
19y9x?19?∴+=(x+y)?+?=10++
xy?xy?
xy≥10+2y9x·=10+6=16, xy13
当且仅当x=,y=时取等号,
4419
故+的最小值为16,故选D.
xy→
(2) 已知点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上运动,且AB=(2,2),设|CE|=x,|CF|→→→
=y,若|AF-AE|=|AB|,则x+y的最大值为( ) A.2 B.4 C.22 D.42 答案 C
→→→→
解析 ∵|AB|=2+2=2,|AF-AE|=|AB|, →→→22
又|AF-AE|=|EF|=x+y=2, ∴x+y=4,
∵(x+y)=x+y+2xy≤2(x+y)=8, 当且仅当x=y时取等号,
2
2
2
2
2
2
2
2
∴x+y≤22,即x+y的最大值为22,故选C.
热点二 简单的线性规划问题
解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数表示的几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决.
x-y≥0,??
例2 (1)(2018·浙江)若x,y满足约束条件?2x+y≤6,
??x+y≥2,
________,最大值是________. 答案 -2 8
则z=x+3y的最小值是
x-y≥0,??
解析 由?2x+y≤6
??x+y≥2
,画出可行域如图阴影部分所示(含边界).
??2x+y=6,
由?
?x+y=2,?
??x-y=0,由?
?2x+y=6,?
解得A(4,-2),
解得B(2,2),
1
将目标函数y=-x平移可知,
3
当目标函数的图象经过A(4,-2)时,zmin=4+3×(-2)=-2; 当目标函数的图象经过B(2,2)时,zmax=2+3×2=8. (2)(2018·浙江省重点中学联考)若实数x,y( )
??-x+y<1,满足?
?y≥|2x-1|,?
则x+y的取值范围是
22
?1?A.?,13?
?2?
C.?
?1?B.?,13?
?4??1?D.?,13? ?5?
3
?5?
,13? ?5?
答案 D
解析 在平面直角坐标系内作出满足约束条件的平面区域,如图所示的阴影部分,其中不含边界线段NP,设z=x+y,求z=x+y的取值范围,即求图中阴影部分内的点到原点的距离的平方的取值范围.
2
2
2
2
由图可知,作OH⊥MN于点H,
?1?由N(0,1),M?,0?, ?2?
得OH=
OM·ON5
=, MN5
1
∴zmin=. 5
又∵OP=2+3=13,但点P不在图中阴影部分内, ∴z=x+y取不到13,
2
2
2
2
2
?1?22
∴x+y的取值范围是?,13?,故选D.
?5?
思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型:一是求最值;二是求区域面积;三是确定目标函数中的字母系数的取值范围.
(2)一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
x≤1,??
跟踪演练2 (1)(2018·浙江省名校协作体联考)若不等式组?y≤3,
??λx-y+2λ-2≥0
平面区域经过四个象限,则实数λ的取值范围是( ) A.(-∞,2] C.[-1,2) 答案 D
??x≤1,
解析 在平面直角坐标系内画出不等式组?
??y≤3
表示的
B.[-1,1] D.(1,+∞)
表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)
所示.
4
x≤1,??
直线λx-y+2λ-2=0恒过定点(-2,-2),由图易得不等式组?y≤3,
??λx-y+2λ-2≥0
表
示的平面区域为阴影部分在直线λx-y+2λ-2=0下方的部分,当λ>1时,不等式组表示2
的平面区域经过四个象限;当<λ≤1时,不等式组表示的平面区域不经过第二象限;当
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0≤λ≤时,不等式组表示的平面区域不经过第一和第二象限;当λ<0时,不等式组表示的
3平面区域不经过第一象限,所以实数λ的取值范围是(1,+∞),故选D.
x≤m,??
(2)(2018·浙江省稽阳联谊学校联考)在平面直角坐标系中,不等式组?x+y≥0,
??2x-y≥0
(m>0)
表示的平面区域为Ω,P(x,y)为Ω上的点,当2x+y的最大值为8时,Ω的面积为( ) A.12 B.8 C.4 D.6 答案 D
解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域,其是以(0,0),(m,-m),(m,2m)为顶点的三角形区域(包含边界),由图(图略)易得当目标函数z=2x+y经过平面区域内的点(m,2m)时,z=2x+y取得最大值,所以2m+2m=8,解得m=2,则此时平面区域Ω的1
面积为×2×(4+2)=6,故选D.
2热点三 绝对值不等式及其应用 1.绝对值不等式的解法
(1)|ax+b|≤c(c>0)?-c≤ax+b≤c; |ax+b|≥c(c>0)?ax+b≥c或ax+b≤-c.
(2)含绝对值的不等式的几种解法:公式法;零点分区间法;几何意义法;图象法. 2.绝对值三角不等式
(1)|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时等号成立.
(2)|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
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(浙江专用)最新2020-2021高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 第4讲 不等式学案
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