第4讲 不等式
[考情考向分析] 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、线性规划、绝对值不等式的应用问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主.2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围.3.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数或数列问题时常利用不等式进行求解，难度较大．
热点一 基本不等式
利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝
y时，x＋y有最小值2p(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，
12
当x＝y时，xy有最大值s(简记为：和定，积有最大值)．
4
2
例1 (1)(2018·浙江省金丽衢十二校联考)设a>b>0，当＋取得最小值c时，函数f(x)
2b?a－b?＝|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值为( ) A．3 B．22 C．5 D．42 答案 A
2[b＋?a－b?]2
解析 ＋＝＋ 2b?a－b?2b?a－b?≥2b(a－b)＋
2
≥2b?a－b?
2b?a－b?·
2
＝4，
b?a－b?
a2
a2
2
当且仅当a＝2b＝2时，上面不等式中两个等号同时成立， 2
所以＋的最小值为4，此时a＝2，b＝1，c＝4，
2b?a－b?则f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－4| 7－3x，x<1，??5－x，1≤x≤2，＝?x＋1，2
a2
所以当x＝2时，函数f(x)取得最小值f(2)＝5－2＝3，故选A.
(2)(2018·诸暨市高考适应性考试)已知a，b为正实数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值为________．
1
答案 62－1
解析 由(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，得a＋b＝18
＋(a＋2b＋1)－1≥2
a＋2b＋1
9
，则3a＋4b＝2(a＋b)＋a＋2b＝
a＋2b＋1
1818
×?a＋2b＋1?－1＝62－1，当且仅当＝aa＋2b＋1a＋2b＋1
＋2b＋1>0时，等号成立，所以3a＋4b的最小值为62－1.
思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立的条件)的条件，否则会出现错误．
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跟踪演练1 (1)设x>0，y>0，若xlg 2，lg2，ylg 2成等差数列，则＋的最小值为( )
xyA．8 B．9 C．12 D．16 答案 D
解析 ∵xlg 2，lg2，ylg 2成等差数列， ∴2lg2＝(x＋y)lg 2， ∴x＋y＝1，
19y9x?19?∴＋＝(x＋y)?＋?＝10＋＋
xy?xy?
xy≥10＋2y9x·＝10＋6＝16， xy13
当且仅当x＝，y＝时取等号，
4419
故＋的最小值为16，故选D.
xy→
(2) 已知点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上运动，且AB＝(2，2)，设|CE|＝x，|CF|→→→
＝y，若|AF－AE|＝|AB|，则x＋y的最大值为( ) A．2 B．4 C．22 D．42 答案 C
→→→→
解析 ∵|AB|＝2＋2＝2，|AF－AE|＝|AB|， →→→22
又|AF－AE|＝|EF|＝x＋y＝2, ∴x＋y＝4，
∵(x＋y)＝x＋y＋2xy≤2(x＋y)＝8， 当且仅当x＝y时取等号，
2
2
2
2
2
2
2
2
∴x＋y≤22，即x＋y的最大值为22，故选C.
热点二 简单的线性规划问题
解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
x－y≥0，??
例2 (1)(2018·浙江)若x，y满足约束条件?2x＋y≤6，
??x＋y≥2，
________，最大值是________． 答案 －2 8
则z＝x＋3y的最小值是
x－y≥0，??
解析 由?2x＋y≤6
??x＋y≥2
，画出可行域如图阴影部分所示(含边界)．
??2x＋y＝6，
由?
?x＋y＝2，?
??x－y＝0，由?
?2x＋y＝6，?
解得A(4，－2)，
解得B(2,2)，
1
将目标函数y＝－x平移可知，
3
当目标函数的图象经过A(4，－2)时，zmin＝4＋3×(－2)＝－2； 当目标函数的图象经过B(2,2)时，zmax＝2＋3×2＝8. (2)(2018·浙江省重点中学联考)若实数x，y( )
??－x＋y<1，满足?
?y≥|2x－1|，?
则x＋y的取值范围是
22
?1?A.?，13?
?2?
C.?
?1?B.?，13?
?4??1?D.?，13? ?5?
3
?5?
，13? ?5?
答案 D
解析 在平面直角坐标系内作出满足约束条件的平面区域，如图所示的阴影部分，其中不含边界线段NP，设z＝x＋y，求z＝x＋y的取值范围，即求图中阴影部分内的点到原点的距离的平方的取值范围．
2
2
2
2
由图可知，作OH⊥MN于点H，
?1?由N(0,1)，M?，0?， ?2?
得OH＝
OM·ON5
＝， MN5
1
∴zmin＝. 5
又∵OP＝2＋3＝13，但点P不在图中阴影部分内， ∴z＝x＋y取不到13，
2
2
2
2
2
?1?22
∴x＋y的取值范围是?，13?，故选D.
?5?
思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．
(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．
x≤1，??
跟踪演练2 (1)(2018·浙江省名校协作体联考)若不等式组?y≤3，
??λx－y＋2λ－2≥0
平面区域经过四个象限，则实数λ的取值范围是( ) A．(－∞，2] C．[－1,2) 答案 D
??x≤1，
解析 在平面直角坐标系内画出不等式组?
??y≤3
表示的
B．[－1,1] D．(1，＋∞)
表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)
所示．
4
x≤1，??
直线λx－y＋2λ－2＝0恒过定点(－2，－2)，由图易得不等式组?y≤3，
??λx－y＋2λ－2≥0
表
示的平面区域为阴影部分在直线λx－y＋2λ－2＝0下方的部分，当λ>1时，不等式组表示2
的平面区域经过四个象限；当<λ≤1时，不等式组表示的平面区域不经过第二象限；当
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0≤λ≤时，不等式组表示的平面区域不经过第一和第二象限；当λ<0时，不等式组表示的
3平面区域不经过第一象限，所以实数λ的取值范围是(1，＋∞)，故选D.
x≤m，??
(2)(2018·浙江省稽阳联谊学校联考)在平面直角坐标系中，不等式组?x＋y≥0，
??2x－y≥0
(m>0)
表示的平面区域为Ω，P(x，y)为Ω上的点，当2x＋y的最大值为8时，Ω的面积为( ) A．12 B．8 C．4 D．6 答案 D
解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(0,0)，(m，－m)，(m,2m)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图(图略)易得当目标函数z＝2x＋y经过平面区域内的点(m,2m)时，z＝2x＋y取得最大值，所以2m＋2m＝8，解得m＝2，则此时平面区域Ω的1
面积为×2×(4＋2)＝6，故选D.
2热点三 绝对值不等式及其应用 1．绝对值不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c(c>0)?－c≤ax＋b≤c； |ax＋b|≥c(c>0)?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(2)含绝对值的不等式的几种解法：公式法；零点分区间法；几何意义法；图象法． 2．绝对值三角不等式
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时等号成立．
(2)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
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(浙江专用)最新2020-2021高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 第4讲 不等式学案
