课时作业(十五) 导数在研究函数中的应用(二)
一、选择题
1．若直线y＝m与y＝3x－x的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为( ) A．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案：A
解析：y′＝3(1－x)(1＋x)，
由y′＝0，得x＝±1，∴y极大值＝2，y极小值＝－2， ∴－2＜m＜2.故应选A.
2．(2020·北京模拟)f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且
B．[－2,2]
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
3
f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为( )
A．(－4,0)∪(4，＋∞) B．(－4,0)∪(0,4) C．(－∞，－4)∪(4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(0,4) 答案：D
解析：设g(x)＝xf(x)，则
g′(x)＝[xf(x)]′＝x′f(x)＋xf′(x)
＝xf′(x)＋f(x)<0，
∴函数g(x)在区间(－∞，0)上是减函数． ∵f(x)是定义在R上的偶函数． ∴g(x)＝xf(x)是R上的奇函数，
∴函数g(x)在区间(0，＋∞)上是减函数． ∵f(－4)＝0， ∴f(4)＝0，
即g(4)＝0，g(－4)＝0， ∴xf(x)>0化为g(x)>0，
设x>0，故不等式为g(x)>g(4)，即0
3．(2020·大连模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) 答案：B
D．(－∞，＋∞)
解析：由已知，[f(x)－(2x＋4)]′＝f′(x)－2＞0， ∴g(x)＝f(x)－(2x＋4)单调递增，又g(－1)＝0， ∴f(x)＞2x＋4的解集是(－1，＋∞)．故应选B.
4．如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝
S′(t)的图象大致为( )
答案：A
解析：由导数的定义知，S′(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率，如图，正五角星薄片中首先露出水面的是区域I，此时其面积S(t)在逐渐增大，且增长速度越来越快，故其瞬时变化率S′(t)也应逐渐增大；
当露出的是区域Ⅱ时，此时的S(t)应突然增大，然后增长速度减慢，但仍为增函数，故其瞬时变化率S′(t)也随之突然变大，再逐渐变小，但S′(t)＞0(故可排除B)；当五角星薄片全部露出水面后，S(t)的值不再变化，故其导数值S′(t)最终应等于0，符合上述特征的只有选项A.故应选A.
ln x?ln x?2ln x5．设1＜x＜2，则，??，2的大小关系是( )
2
x?x?
x?ln x?2＜ln x＜ln x A.??xx2?x?
ln x?ln x?2ln xB.＜??＜2
2
2
x?x?
x?ln x?2＜ln x＜ln x C.??x2x?x?
ln x?2ln x?D.2＜??＜x
x?x?ln x答案：A
1x－1解析：令f(x)＝x－ln x(1＜x＜2)，则f′(x)＝1－＝＞0，所以函数y＝f(x)(1
2
2
xx＜x＜2)为增函数，
ln x∴f(x)＞f(1)＝1＞0，∴x＞ln x＞0，则0＜＜1，
x∴?又
?ln x?2＜?ln x?.
????x??x?
ln x2
x2
ln x2ln x－xln x2－xln x－＝＝＞0， 2
xxx?ln x?2＜ln x＜ln x，故应选A.
∴??xx2?x?
6．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π)且x≠
π?π?时，?x－?f′(x)＞0，则函数y2?2?
2
＝f(x)－sin x在[－2π，2π]上的零点个数为( )
A．2 C．5 答案：B
B．4 D．8
?π?解析：∵?x－?f′(x)＞0，
2??
π
当＜x＜π时，f′(x)＞0， 2
?π?∴f(x)在?，π?上是增函数； ?2?
π
当0＜x＜时，f′(x)＜0，
2
?π?∴f(x)在?0，?上是减函数．
2??
设π≤x≤2π，则0≤2π－x≤π. 由f(x)是以2π为最小正周期的偶函数知，
f(2π－x)＝f(x)．
故π≤x≤2π时， 0＜f(x)＜1.
依题意作出草图(图略)可知，
y1＝f(x)与y2＝sin x在[－2π，2π]上有四个交点．
故应选B. 二、填空题
?π?7．若f(x)＝xsin x＋cos x，则f(－3)，f??，f(2)的大小关系为________．
?2?
?π?答案：f(－3)＜f(2)＜f?? ?2?
解析：由f(－x)＝f(x)知函数f(x)为偶函数， 因此f(－3)＝f(3)．
又f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，
?π??π?当x∈?0，?时，f′(x)＞0，当x∈?，π?时，f′(x)＜0，
2???2??π?∴f(x)在区间?，π?上是减函数， ?2??π?∴f??＞f(2)＞f(3)＝f(－3)．
?2?
8．(2020·北京海淀区模拟)若函数f(x)满足：“对于区间(1,2)上的任意实数x1，
x2(x1≠x2)，|f(x2)－f(x1)|＜|x2－x1|恒成立”，则称f(x)为完美函数．给出以下四个函数：
1?1?x2
①f(x)＝；②f(x)＝|x|；③f(x)＝??；④f(x)＝x.其中是完美函数的序号是________．
x?2?
答案：①③
解析：由|f(x2)－f(x1)|＜|x2－x1|知，
?fx2－fx1?＜1，即|f′(x)|＜1. ??x2－x1??
经验证①③符合题意． 9．(2020·山西四校联考)log0.5
则m的取值范围为________．
答案：(45，＋∞)
解析：以0.5为底的对数函数为减函数，所以得真数关系为
3
2
3
2
x＋1m>log0.5对任意x∈[2,4]恒成立，x－1x－127－xx＋1m<，x－1x－127－x2
所以m>－x＋7x＋x－7，令f(x)＝－x＋7x＋x－7，则f′(x)＝－3x＋14x＋1，因为
f′(2)>0且f′(4)>0，所以f′(x)>0在[2,4]上恒成立，即在[2,4]上函数f(x)为增函数，
所以f(x)的最大值为f(4)＝45，因此m>45.
三、解答题
10．已知定义在区间[－2，t](t＞－2)上的函数f(x)＝(x－3x＋3)e. (1)当t＞1时，求函数y＝f(x)的单调区间； (2)设m＝f(－2)，n＝f(t)，试证明m＜ n.
解：(1)f′(x)＝(2x－3)e＋e(x－3x＋3)＝ex(x－1)． 由于t＞1，故当x∈(－2,0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
xx2
2
xx当x∈(1，t)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
综上，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－2,0)，(1，t)；单调递减区间为(0,1)． (2)证明：m＝f(－2)＝13e，n＝f(t)＝(t－3t＋3)e， 设h(t)＝n－m＝(t－3t＋3)e－13e，
2
－2
2
tt－2
h′(t)＝(2t－3)et＋et(t2－3t＋3)＝ett(t－1))(t＞－2)． h(t)与h′(t)随t的变化情况如下表：
t h′(t) h(t) (－2,0) ＋ 0 0 极大值 3(0,1) － 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ 13e－13由上表可知，h(t)的极小值为h(1)＝e－2＝2＞0，又h(－2)＝0，所以当t＞－2
ee时，h(t)＞h(－2)＝0，
即h(t)＞0，因此n－m＞0，即m＜n.
11．(2020·成都模拟)成都市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k(k＞0)．现已知相距36 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．
(1)试将y表示为x的函数；
(2)若a＝1时，y在x＝6处取得最小值，试求b的值．
解：(1)设点C受A污染源污染指数为，点C受B污染源污染指数为，其中kx36－x为比例系数，且k＞0.
从而点C处污染指数y＝＋
kakbkakb(0＜x＜36)．
x36－x(2)∵a＝1，∴y＝＋，
x36－xkkbb?1
y′＝k?－2＋
36－x?x2
?，令y′＝0，得x＝36，
??1＋b?0，36
当x∈?
?1＋??时，函数单调递减； b?
?36，＋∞?当x∈??时，函数单调递增．
?1＋b?
36∴当x＝时，函数取得最小值．
1＋b又此时x＝6，解得b＝25，经验证符合题意．
131－a2
12．(2020·大连模拟)已知函数f(x)＝x＋x－ax－a，x∈R，其中a＞0.
32(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝x＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)． 由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
2
x f′(x) f(x) (－∞，－1) ＋ －1 0 极大值 (－1，a) － a 0 极小值 (a，＋∞) ＋ 故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)． (2)由(1)知，f(x)在区间(－2，－1)内单凋递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函
f－2＜0，??
数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当?f－1＞0，
??f0＜0，
1
解得0＜a＜. 3
?1?所以a的取值范围是?0，?. ?3?
（新课标）2020高考数学大一轮复习 第2章 第12节 导数在研究函数中的应用（二）课时作业 理
