课时作业16 空间向量的数量积运算
[基础巩固]
一、选择题
1．对于空间任意两个非零向量a，b，“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1
2．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹
2
角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
π→→
3．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos 〈OA，BC〉的值为( )
3
12A. B. 221
C．－ D．0
2
→→
4．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为( )
122
A．a B.a
41232C.a D.a 24
5．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1
的长为( )
A.2 B．6
C.6 D．3＋33 二、填空题
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面给出的结论：
→→→2→2
①|A1A＋A1D1＋A1B1|＝3|A1B1|； →→→
②A1C·(A1B1－A1A)＝0； →→
③AD1与A1B的夹角为60°；
→→→
④此正方体体积为|AB·AA1·AD|.
则错误结论的序号是________(填出所有错误结论的序号)．
7．设|m|＝1，|n|＝2,2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则向量a，b的夹角〈a，b〉＝________.
8．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线AC1的长是________．
三、解答题
- 1 -
9．已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示．求： →→(1)OA·OB；
→→→→(2)(OA＋OB)·(CA＋CB)．
10．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1
＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．
[能力提升]
→→→→→→
11．设A，B，C，D是空间中不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定
12．如图，在一个直二面角α－AB－β的棱上有两点A，B.AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD＝________.
13．BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?ABB1A1、?BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角．
- 2 -
14．如图，直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
课时作业16 空间向量的数量积运算 1．解析：当向量a，b反向共线时，a·b<0，但此时〈a，b〉＝π，夹角不是钝角，即π“a·b<0”?“〈a，b〉∈，π”，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分2条件． 答案：B a·b12．解析：设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝120°，则两|a||b|2个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°. 答案：B →→→→→3．解析：OA·BC＝OA·(OC－OB) →→→→＝OA·OC－OA·OB
- 3 -
→→→→→→→→＝|OA||OC|cos〈OA，OC〉－|OA||OB|cos〈OA，OB〉． →→→→→→π因为〈OA，OC〉＝〈OA，OB〉＝，|OB|＝|OC|， 3→→所以OA·BC＝0. →→所以OA⊥BC. →→所以cos〈OA，BC〉＝0.故选D. 答案：D →→→→→14．解析：在正四面体ABCD中，点E、F分别是BC、AD的中点，∴AE＝AB＋BE，AF＝AD，2→→→→→→→→→111则AE·AF＝(AB＋BE)·AD＝AB·AD＋BE·AD，因为四面体ABCD是正四面体，所以BE⊥AD，222→→→→→→→→22ππaa∠BAD＝，所以BE·AD＝0，AB·AD＝|AB|·|AD|·cos＝，所以AE·AF＝. 3324答案：B 5. 解析：∵AB＝AD＝AA1＝1， ∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°， →→→→→→1∴AB·AD＝AD·AA1＝AB·AA1＝， 2→→→→∵AC1＝AB＋AD＋AA1， →→→→→→→→→→2222∴AC1＝AB＋AD＋AA1＋2AB·AD＋2AD·AA1＋2AB·AA1＝6， →∴|AC1|＝6. 答案：C →→→→→→→→6．解析：①因为|A1A＋A1D1＋A1B1|＝|A1C|＝3|A1B1|，故①正确；②因为A1C·(A1B1－A1A)→→→→→→→→→→→→→→→22＝(A1B1＋A1D1＋A1A)·(A1B1－A1A)＝A1B1＋A1B1·A1D1＋A1B1·A1A－A1B1·A1A－A1A·A1D1－A1A＝→→0，故②正确；③AD1与A1B两异面直线的夹角为60°，但AD1与A1B的夹角为120°，注意方向；→→④因为AB·AA1＝0，故④错误． 答案：③④ 7．解析：因为(2m＋n)⊥(m－3n)， 所以(2m＋n)·(m－3n)＝0. 22化简得m·n＝－2，又|a|＝a＝4m－n
- 4 -
＝16＋4＋16＝6. 22|b|＝b＝7m＋2n＝49＋16－56＝3. 所以a·b＝(4m－n)·(7m＋2n) 22＝28|m|－2|n|＋m·n＝18. a·b18所以cos〈a，b〉＝＝＝1，所以〈a，b〉＝0°. |a||b|6×3答案：0° →→→2228．解析：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则a＝b＝c＝1， 12所以a·b＝a·c＝b·c＝|a|cos 60 °＝， 2→→22222所以AC1＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c＋2b·c＋2a·c＋2a·b＝6，所以|AC1|＝6. 答案：6 →→→9．解析：在正四面体OABC中，|OA|＝|OB|＝|OC|＝1. →→→→→→〈OA，OB〉＝〈OA，OC〉＝〈OB，OC〉＝60°. →→→→1(1)OA·OB＝|OA||OB|·cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝. 2→→→→(2)(OA＋OB)·(CA＋CB) →→→→→→＝(OA＋OB)·(OA－OC＋OB－OC) →→→→→＝(OA＋OB)·(OA＋OB－2OC) →→→→→→→→22＝OA＋2OA·OB－2OA·OC＋OB－2OB·OC 22＝1＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1－2×1×1×cos 60° ＝1＋1－1＋1－1＝1. →→→→10．解析：因为AC1＝AB＋AD＋AA1， →→→→→→→→→→→→→22222所以AC1＝(AB＋AD＋AA1)＝AB＋AD＋AA1＋2(AB·AD＋AB·AA1＋AD·AA1)． →→→→→因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，所以〈AB，AD〉＝90°，〈AB，AA1〉＝〈AD，→AA1〉＝60°， →所以AC1＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. →→→222因为AC1＝|AC1|，所以|AC1|＝23，即AC1＝23. →→→→→→→→→→→→→→2211．解析：BC·BD＝(AC－AB)·(AD－AB)＝AC·AD－AC·AB－AB·AD＋AB＝AB>0， →→→→同理，可证CB·CD>0，DB·DC>0. 所以△BCD的每个内角均为锐角，故△BCD是锐角三角形． 答案：B 2 - 5 -
→→→→12．解析：由CD＝CA＋AB＋BD →→→→→→→→→→→2222CD＝CA＋AB＋BD＋2CA·AB＋2CA·BD＋2AB·BD＝36＋16＋64＝116，|CD|＝229. 答案：229 13．解析：如图所示． →→→→→∵BA1＝BA＋BB1，AC＝AB＋BC， →→→→→→∴BA1·AC＝(BA＋BB1)·(AB＋BC) →→→→→→→→＝BA·AB＋BA·BC＋BB1·AB＋BB1·BC. ∵?ABB1A1，?BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，∴?ABB1A1与?BB1C1C均为正方形，→→∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴BB1·AB＝0， →→→→BB1·BC＝0，易求得BA·AB＝－a2. →→又∵AB⊥BC，∴AB·BC＝0， →→→→→→2∴BA1·AC＝(BA＋BB1)·(AB＋BC)＝－a. →→→→→→又BA1·AC＝|BA1||AC|cos〈BA1，AC〉， →→2－a1∴cos〈BA1，AC〉＝＝－. 22a·2a→→又∵〈BA1，AC〉∈[0，π]， →→2π∴〈BA1，AC〉＝， 3又∵异面直线所成的角是锐角或直角， π∴异面直线BA1与AC所成的角为. 3→→→14．解析：(1)证明：设CA＝a，CB＝b，CC′＝c， 根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0， →→111所以CE＝b＋c，A′D＝－c＋b－a. 222→→1212所以CE·A′D＝－c＋b＝0. 22→→所以CE⊥A′D，即CE⊥A′D. → - 6 -
→→(2)因为AC′＝－a＋c.所以|AC′|＝2|a|. →又|CE|＝52|a|. →→AC′·CE＝(－a＋c)·b＋1c＝1c2＝1|a|2222， →→1|a|2所以cos〈AC′，CE〉＝2＝102×5210， 2|a|即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为1010. - 7 -
2024_2024学年高中数学第三章空间向量与立体几何课时作业16空间向量的数量积运算新人教A版
