10.1 第一型曲线积分 习题10.1
1. 设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L，在点?x,y?处它的线密度为??x,y?。用第
一型曲线积分分别表达
（1） 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Jx,Jy. 解：Jx??Ly2??x,y?ds;Jy??x2??x,y?ds.
L（2） 这曲线弧的质心坐标x,y.
x??x,y?dsy??x,y?ds??解：x?,y?. ???x,y?ds???x,y?dsLLLL2. 计算下列第一型曲线积分： （1）解：
?LL?x2?y2?ds,其中L为圆周x?acost,y?asint?0?t?2??;
nn2?0??x2?y2?ds??a2nL??asint???acost?22dt?2?a2n?1.
（2）
??x?y?ds,其中L为连接?1,0?及?0,1?两点的直线段。
?x?1?t;,0?t?1.?y?t解：L:?（3）
?L?x?y?ds??0?1?t?t???1?12?12dt?2.
?LLxds,其中L为由直线y?x及抛物线y?x2所围成的区域的整个边界。
121解：
?xds??x1??2x?dx??x1?12dx?005521??. 12212（4）
?Lex2?y2ds,其中L为圆周x2?y2?a2，直线y?x及x轴在第一象限内所围成的扇
形的整个边界。
解：
?Lex2?y2ds??e0ax2?02?dx??4e0a??asin????acos??d???222a20ex2?x21?12dx
?2ea?2??ae4a.（5）
1tttx?ecost,y?esint,z?eds,其中为曲线上相应于t从0变到2???x2?y2?z2的这段弧。
解：
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1??x2?y2?z2ds2221ttttt2??2tecost?esint?esint?ecost?e??????dt 0ecos2t?e2tsin2t?e2t213?1?t??3edt?1???.02e2t2?e2?（6）
??x2yzds,其中?为折线ABCD，此处A,B,C,D依次为点
?0,0,0?,?0,0,2?,?1,0,2?,?1,3,2?;
?x?0;?x?t;?x?1;???解：AB:?y?0;,0?t?1;BC:?y?0;,0?t?1;CD:?y?3t;,0?t?1;所以
?z?2t?z?2?z?2?????xyzds??0dt??0dt??6t02?32?02dt?9.
0002111(7) 解：
??Ly2ds,其中L为摆线的一拱x?a?t?sint?,y?a?1?cost??0?t?2??; yds??a2?1?cost?202?2La2?1?cost??a2sin2tdt?22563a. 15（8）
??xL2?y2?ds,其中L为曲线
x?a?cost?tsint?,y?a?sint?tcost?,0?t?2?;
解：
??xL2?y2?ds??2?0?a2?cost?tsint?2?a2?sint?tcost?2?a2?tcost?2?a2?tsint?2dt ??2?0??a3?1?t2?tdt?a3?2?2?4?4?.(9)
??Lzds,其中?为曲线x?tcost,y?tsint,z?t?0?t?t0?;
zds??t0t0解：
L?cost?tsint???sint?tcost?2231222?1dt??t0?2?2?.
332(10)
?Lx2?y2ds,其中L为圆周x2?y2?ax;
?x?acos2?;??,????. 解：L:?2?y?acos?sin?2?Lx?yds??2?acos?a2??2cos?sin???a2??sin2??cos2??d??2a2.2222?2?可复制、编制，期待你的好评与关注！
(11) 解：
??x?y?ds,其中L为由?0,0?,?1,0?,?0,1?三点所连接的闭折线。
L?x?t;?x?0;,0?t?1;?0,0???0,1?:?,0?t?1;?0,0???1,0?:?y?0y?t??
?x?1?t;,0?t?1;?1,0???0,1?:?y?t??L?x?y?ds??0t（12）
11?0dt??t1?0dt??02212210??1?2?12dt?1?2.
??xL2?y2?z2?ds,其中L为螺旋线
x?acost,y?asint,z?bt,0?t?2?;
解：
?L?x2?y2?z2?ds??222?0?a2?b2t2???asint???acost?22?b2dt
?8b2?3?2?a?b?2?a??.3??（13）
?Lyds,其中L为抛物线y2?4x自点?0,0?到点?1,2?的一段；
2解：
?Lyds??01?y?y1???dy?82?4.
3?2?2??2224?4?3333（14）??x?y?ds,其中L为内摆线x?y?a3的弧；
L??解：
?x?acos3?;?L:?3??y?asin?4?4?4?33x?y?ds?4?2a3?cos4??sin4???L?0????3acos732?sin????3asin?cos??d?222
?12a73??cos?sin??sin205?5?cos??d??4a.（15）
?Lx2ds,其中L为圆周x2?y2?z2?a2,x?y?z?0.
112?a32222. 解：?xds???x?y?z?ds??ads?LLL33323. 求半径为R的半圆形金属丝（设线密度为常数?）对位于圆心的质点（设质量为m0）
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的引力
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F。
解
：
设
圆
心
为
原
点
，
金
属
丝
占
据
上
半
圆
周
。
则
Fx?0.Fy???Gm?Rsin?Gm0?y2Gm0?0ds?Rd??. 33?L0RRR4. 求物质曲线x?at,y?2ya2a. t,z?t3?0?t?1?的质量，其线密度??a23解：m??L?ds??10at2233aa3a3?23a?a2t2?a2t4dt???ln. a881635. 求半径为a，中心角为2?的均匀圆弧（线密度??1）的质心。 解
：
设
圆
?心
??在原点，关于
y轴对称，则
x?0；
yds?y???dsLL??22??a2sin?d??2????2??ad?2a2sin?asin???.
2a??6. 设螺旋形弹簧一圈的方程为x?acost,y?asint,z?kt,其中0?t?2?，它的线密度
??x,y,z??x2?y2?z2。求
（1） 它关于z轴的转动惯量Jz; （2） 它的质心。
解：（1）
Jz???x2?y2??ds??a2?a2?k2t2??02???asint???acost?22?k2dt
?a2?8?3k2?2a?k?2?a??.3??22?（2）x????x?ds??ds2???2?0acost?a2?k2t2?a2?k2dt??a0222?2?k2t2?a2?k2dt226ak2?2. 223a?4k?y?ds?asint?a?kt??y????ds???a?kt?a0222?0a2?k2dt2?k2dt?6ak2??2. 3a?4k2?2?x???z?ds??ds??2?00kt?a2?k2t2?a2?k2dt2??a2??k2t2?3?a2k?6?3k3?.222223a?4k?a?kdt可复制、编制，期待你的好评与关注！
微积分(刘迎东)第十章习题答案
