2011苏北数模c题,数学建模

一 问题重述及问题分析

1.1）问题重述

C题 高校综合奖学金的评定

奖学金制度是高校普遍采用的一种对学生进行奖励、激励的制度，评定奖学金成为高校每年工作的一个重要环节。奖学金评定有其明确的标准，这些标准是学校培养目标的具体化，奖学金评定对学生的行为具有导向功能。

目前，高校奖学金主要有综合奖学金和单项奖学金两大类。综合奖学金主要是对各方面表现都比较优秀的学生设立的，单项奖学金则主要是针对在某一方面表现比较突出的学生设立的。

我们收集了某班级评定奖学金可以用到的一些资料（在奖学金评定信息.xls中）。考虑到该班级所在学校对奖学金的评定有基本条件限制，如考试课成绩不能低于70分等，表中只给出了满足基本条件的同学的信息。请建立数学模型，根据资料中提供的数据，确定奖学金获得者名单。具体要求如下：

(1) 根据Excel中的相关数据，选择一种合理的方法，计算出学生的综合成绩（包括考试课和考查课两部分），并给出具体排名。

(2) 结合你所了解的相关情况，确定出综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重。

(3) 该班级的奖学金获奖指标为一等奖1个，二等奖3个，三等奖5个，请给出具体获奖名单。

(4) 撰写一篇不超过2页的奖学金评定说明，向负责奖学金评定的人（如班主任、班长等）阐述你们计算奖学金的主要依据和过程。

1.2）问题分析

本题论述的问题是如何合理制定奖学金标准，怎样的一个奖学金制度能够做到公平、公正，能充分调动广大学生的学习积极性，发挥他们的特长。

据调查，人们往往是依靠“民主加集中”的原则，即学校先按人数比例把指标分配到各班级，各班级再通过学生民主评议后，评出候选人员，再综合班主任意见，最终定出获奖人员(常规方法)。但是，基于这种看似民主的评选方法和过程，总有不少学生提出相左观点，评出的结果常常令许多人不满意，甚至引起许多人抱怨。在评选过程中，还常常出现谁上谁下，很难定夺的剧烈竞争局面。这种情况下若采用简单方法评选就更易引起学生的不满。

为了真正体现“公开，公平，公正”的原则，并能通过评选过程着实让受奖者和评选者都能受到一次教育，让综合素质优秀及单方面能力出众的学生获得奖励，本文通过对奖学金评选相关资料的研究，及大学中现行评选制度分析，最终提出用层次分析法(AHP)来解决此疑难问题。

运用层次分析法，将学生的综合测评问题层次化，根据奖学金评定的要求和要达到的目的，将奖学金评定问题分解成不同的组成因素，包括学习成绩，平时表现，创新实践三个准则，并根据所给资料间的相互关联影响作为指标隶属到该准则层中，形成一个多层次的分析模型。

二 详细摘要

本文针对学生奖学金综合测评中的指标确定合理量化问题，应用层次分析法构建了综合测评模型，得到了指标层对目标层的相对重要性的权重，根据权重代入标准化后的数据就可制定出学生奖学金综合测评表。实践表明，该方法具有合理性。

2.1）对于问题1：本文以GPA即绩点为桥梁，将考试课，考查课的成绩分别根据南京邮电大学学生手册中的计算方法，计算平均绩点，并以Saaty1-9标度法，计算两种课程所占权重，本模型贴合学校实际计算情况。在Excel中计算所得的学生平均绩点排名，即综合成绩排名如图表2.1：

学生编号学生N名次1绩点4.48297学生编号学生J名次8绩点3.49351学生A24.31432学生C93.41405学生B34.17405学生G103.24243学生L43.83108学生K113.22649学生I53.73622学生D122.74351学生F学生H673.611353.58学生E学生M13142.707842.35324 图表 2.1

2.2）对于问题2：建立层次化分析模型，将学生的综合测评问题及所给数据层次化。即分成：目标层，准则层，指标层三层。并根据Saaty标度法，参考“国家奖学金评定工作创新方法研究”论文中的相应讨论，进行各因素之间的比较以得到各层次之间的权值，建立层次化模型。Excel中相应计算所得各权重如图表2.2：

综合成绩0.714285714卫生0.017857143学生工作0.047619047获奖情况0.095238094学生民主投票0.124999999 图表2.2

2.3）对于问题3：本文首先参考南京邮电大学学生手册中相关评审办法，对获奖情况等数据进行量化，然后对表中数据进行标准化和一次线性变化处理得出一个新的数据表，并参考问题2计算出的权重进行相应运算即求得每个学生对应的综合测评成绩，以上操作完全在excel中用公式计算完成，从而筛选出最终获奖名单，经计算，结果如图表2.3:

学生编号学生N学生A学生B学生F学生I学生C学生J学生L学生H名次123456789获奖情况一等奖二等奖二等奖二等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖 图表2.3

关键字：层次分析法，奖学金，标准化过程，综合测评

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三 模型的基本假设及符号说明

3.1）模型基本假设

（i）假设Excel中所涉及所有数据收集于本奖学金评定进行的学期，即该学期为：考试及考察课的开课学期；宿舍扣分情况所反映的学期；学生干部工作的任职期；所获奖的颁发时间；及学生投票情况的收集时间。

（ii）假设将考查课成绩“优秀，良好，中等，及格”依次量化为百分制分数表示：分别为95,85,75,65分；宿舍扣分按负分。

（iii）假设有考试课或考查课单门成绩不及格，即小于60分者，不具有参加奖学金评选的资格。

（iv）假设“学生工作”数据中只关注所担当职务，不考虑具体工作的担当情况。 （v）假设对于学生干部的加分处理，按照南京邮电大学学生手册相关意见进行。具体按照所在部门职位等级，给予8—12分的加分。举例如下：班长12分，团支书，10分，其他班委8分。同一学生在不同部门任多职位着，分数叠加。

（vi）假设对于获奖情况，不管是科技类还是文艺类等方面的获奖，我们只考虑获奖级别的差异，而不考虑获奖内容的差别。

（vii）假设参照南京邮电大学学生手册相关意见，将获奖等级量化为数值：即一二三等奖中，获奖分数分别为：全国：14,10,7；省级：10,6,4；校级：4,3,1 （viii）假设学生投票数据完全可信，即投票阶段，每人所投人数在一定预设范围之内，且计票阶段无失误现象。

（ix）假设所给数据中出现某个指标上所有同学的分值/等级相同的情况，则说明该指标对所有同学奖学金评定的影响完全相同，该指标不予考虑，即计算奖学金评定时不进行计算。

3.2）符号说明

1.Si————第i门考试课成绩 2.Sj————第j门考查课成绩 3.Ci————第i门考试课学分 4.Cj————第j门考查课学分 5.?————判断矩阵特征值 6.m————考试课门数 7.n————考查课门数 8.n————矩阵的阶数

9.Q1————综合成绩B1对于奖学金评定成绩A的权重

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10.Q2————平时表现B2对于奖学金评定成绩A的权重 11.Q3————创新实践B3对于奖学金评定成绩A的权重 12.Q11————考试课成绩C1对于综合成绩B1的权重 13.Q12————考查课成绩C2对于综合成绩B1的权重 14.Q21————学生投票C3对于平时表现B2的权重 15.Q22————宿舍卫生C4对于平时表现B2的权重 16.Q31————获奖情况C5对于创新实践B3的权重 17.Q32————学生工作C6对于创新实践B3的权重 18.Q11i————考试课各单科对考试课权重 19.Q12j————考查课各单科对考试课权重 20.p————参加奖学金评定的学生人数

21.q————评定奖学金的指标总数（包括考查课/考试课各单科) 22.xij————原“指标—人数矩阵” 23.xij————xij进行标准化处理后所得矩阵

?24.xij————xij进行一次线性变换后的矩阵

25.G————综合评价总分矩阵 26.W————单项奖评分权重

27.R————学生工作，获奖情况，学生投票数据经过标准化，线性化处理后数据矩阵

28.Z————单项奖学金综合评定结果数据矩阵

???四 模型的建立与求解

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四．一）问题1的模型建立及求解

4.1.1）模型的建立

本题目要求选择一种合理方法，计算出学生的综合成绩（包括考试课和考查课两部分），并给出具体排名。

首先，本文参考南京邮电大学学生手册中的相关意见，通过计算GPA，即学分绩点来衡量综合成绩的优良，GPA计算公式如下：

GPA??(Si?1mi?50)?Cimi i=1,2,......,m

10??Ci 考虑到考试课程与考察课程的性质的重要性不同，即对综合成绩所占影响比例的不同，本文采用Saaty 1—9标度法，对考试课Ci及考查课Cj两因素关系进行量化，Saaty 因素等级量化值如表4.1.1：

Si比SjAij相同1稍强3强5很强7绝对强9 图表4.1.1

假设考试课成绩Ci对综合成绩的影响相对于考查课Cj介于“稍强”与“强”之间，即比例为4，进而列出判断矩阵A—S的判断矩阵如图表4.1.2：

ASi1 1/4Sj41权重0.80.2 SiSj图表4.1.2

其中，权重的计算过程如下：

1.判断矩阵的一致性检验：

所谓一致性指标，是指用来衡量判断矩阵不一致程度的数量指标，记作CI，CR为一次性概率，定义为： CI?

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?max?n'n'?1 ，CR?CI （n'为矩阵阶数） RI