高中数学必修
5知识点总结
第一章 解三角形
1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 3、三角形中的基本关系：sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC, 4、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R为???C的外接圆的半径，则有 abc???2R． sin?sin?sinC5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC； abc，sin??，sinC?； 2R2R2Ra?b?cabc③a:b:c?sin?:sin?:sinC；④． ???sin??sin??sinCsin?sin?sinC②化边为角：sin??6、两类正弦定理解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）) 7、余弦定理：在???C中，有a?b?c?2bccos?，b?a?c?2accos?， 222222c2?a2?b2?2abcosC． b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c28、余弦定理的推论：cos??，cos??，cosC?． 2bc2ab2ac(余弦定理主要解决的问题：1.已知两边和夹角，求其余的量。2.已知三边求角) 9、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角） 10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则： ①若a?b?c，则C?90；②若a?b?c，则C?90；③若 222o222oB A a2?b2?c2，则C?90o． 注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标 A、B,但不能到达，在岸边选取相距D两点，并测得∠ACB=75, 3千米的C、 O C D ∠BCD=45, ∠ADC=30, ∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。 （本题解答过程略） O O O 11、三角形面积公式：12、三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 13 、请同学们自己复习巩固三角函数中 诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等） 。 附加： 第二章 数列 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列． 5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1>an）． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+1 8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列?an?的第n项与序号n之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an?1（或前几项）间的关系的公式． 11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．符号表示:an?1?an?d。注：看数列是不是等差数列有以下三种方法： ① an?an?1?d(n?2,d为常数)②2an?an?1?an?1(n?2) ③an?kn?b(n,k为常数 12、由三个数a，?，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则?称为a与b的等差中项．若 b?a?c，则称b为a与c的等差中项． 213、若等差数列 ?an?的首项是a，公差是d，则a1n?a1??n?1?d． ； an?a114、通项公式的变形：①an?am??n?m?d；②a1?an??n?1?d；③d?n?1an?aman?a1d??1；⑤④n?n?md15、若?an?是等差数列，且m?n?是等差数列，且2n?p?q（n、 ． p?q（m、n、p、q??*），则am?an?ap?aq；若?an?p、q??*），则2an?ap?aq． 16.等差数列的前n项和的公式：①Sn?n?a1?an?n?n?1?d．③；②Sn?na1?22sn?a1?a2?L?an 17、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2n?n???，则S2n?n?an?an?1?，且 *S偶?S奇?nd， ②若项数为2n?1S奇a?nS偶an?1*． 则S?n???， S奇n，且，（其中S奇?nan，??2n?1aS?S?a??2n?1nn奇偶S偶n?1S偶??n?1?an）． 18、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示： an?1?q（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号an位上的值同号） 注：看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①an?an?1q(n?2,q为常数,且?0)③an?cqn(c,q为非零常数). ④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x?1）成等比数列. 19、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若G?ab，则称G为a与b的等比中项．（注：由G?ab不能得出a，G，b成等比，由a，G，b20、若等比数列?an?的首项是a1，公比是q，则an21、通项公式的变形：①an222?an?1?an?1(n?2，anan?1an?1?0) ②an ?G2?ab） ?a1qn?1． ??n?1??amqn?m；②a1?anq；③qn?1ann?manq?；④． ?ama122、若?an?是等比数列，且m?n?等比数列，且2n?p?q（n、 p?q（m、n、p、q??*），则am?an?ap?aq；若?an?是 2p、q??*），则an?ap?aq． ?na1?q?1??23、等比数列?an?的前n项和的公式：①Sn??a?1?qn?a?aq．② 11n??q?1??1?q1?q?sn?a1?a2?L?an ?s1?a1(n?1)a?24、对任意的数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：n? ?sn?sn?1(n?2)[注]： ①an?a1??n?1?d?nd??a1?d?（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）. d?d?d??②等差{an}前n项和Sn?An2?Bn???n2??a1??n →可以为零也可不为零→为等差的充要条件 2?2?2??→若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） ．．附：几种常见的数列的思想方法： 1.等差数列的前n项和为Sn，在d?0时，有最大值. 如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法： 一是求使an?0,an?1?0，成立的n值；二是由Sn?2.数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下： d2dn?(a1?)n利用二次函数的性质求n的值. 22数列 等差数列 等比数列 通项公式 对应函数 （时为一次函数） （指数型函数） 前n项和公式 （ （指数型函数） 时为二次函数） 对应函数 数列 等差数列 等比数列 我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。 3.例题：1、等差数列分析：因为 中， ， 则 . 是等差数列，所以是关于n的一次函数， )三点共线， 一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n, 所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利用等 差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。 例题：2、等差数列 中， ，前n项和为 ，若 ，n为何值时 最大？ 分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=， 是抛物线=上的离散点，根据题意，， 则因为欲求时， 最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当 最大。 ，对任意正整数n， 恒成立，求 例题：3递增数列
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